NOIP2024集训Day43 博弈论

NOIP2024集训Day43 博弈论

怎么说，这些题就是想得出来就想得出来，想不出来就是想不出来

---

A. [ABC261Ex] Game on Graph

假设图是一个有向无环图，那么直接 DAG 上 dp 即可。轮到 Alice 时在所有后继节点中取最小值，轮到 Bob 时在所有后继节点中取最大值。

考虑有环。有环的 min/max dp 的经典解法是跑最短路，把无后继的节点入堆，建反图，跑 Dijkstra 就好了。

但是这个 dp 有时候取最大值，有时候取最小值，感觉比较难处理。

如果轮到 Alice，直接取最小值。因为 Dijkstra 用小根堆，所以 Alice 的 dp 值直接跑 Dijkstra 是正确的。

如果轮到 Bob，则要所有的后继节点更新后，才可以更新 Bob 的值。而且他是希望在博弈中跑出死循环的，所以如果不是所有的后继节点都更新得到，他就不更新。我们可以使用类似拓扑的方式处理。记录入度，松弛时入度减一。

---

B. [AGC048D] Pocky Games

先说结论：A、B两人每次要么取一个，要么全部取完。

感性证明一下：

如果某一方对应的那堆石子大于其余的之和，那么其必胜，否则他会弃掉这堆去抢后面的。

但是如果直接弃掉的话可能会输，所以要先一个一个的拿来拖延对面的时间，等时机到了就全部丢掉。

于是有：设 \(f_{i, j, k}\) 表示 \([i, j]\) 内 A 先手，第 \(i\) 堆是 \(k\) 是否能获胜。

发现当 \(x\) 能获胜时，\(y\ge x\) 的 \(y\) 也能获胜，所以改成 \(f_{i, j}\) 表示最小获胜的 \(a_i\)，\(g_{i, j}\) 反之。

考虑 A 的策略，假设求的是 \(f_{i, j}\)。

A 一开始会一个一个的丢，B 为了让 A 剩下的尽量少也会一个一个的丢，直到 \(a_j=g_{i +1, j}\) 之时，如果这时 B 继续丢，那么 A 可以直接丢掉 \(a_i\) 然后 B 就输了。

所以 B 会在 \(a_j = g_{i + 1, j}\) 的时候丢掉 \(a_j\)，然后变成 \(f_{i, j - 1}\) 的情况，如果这时 \(a_i\ge f_{i, j - 1}\) 就可以赢。

复杂度 \(\Theta(T\cdot n^2)\)。

---

F. 多边形之战

如果这个三角形三个顶点相邻，则先手必胜（第一刀就可以切）

否则当黑色三角形只有一边与白色三角形相邻时才可以被切，显然那个白色三角形是最后一个白色三角形

于是转化为：有 \(n\) 个石子，一次只能取一个，问取最后一个的人是谁

做完了。

---

G. [BZOJ2463 中山市选2009] 谁能赢呢？

先说结论：\(n\) 为偶数则 Alice，为奇数则 Bob。

证明：以 \(n\) 为奇数为例，去掉起始点还剩下偶数个点，一定存在一种方法能将剩下的偶数个点分成若干个 \(1\times 2\) 的长方形。

那么对于每一轮操作，只要先手能走即先手能找到一个 \(1\times 2\) 的长方形，那么后手就一定能从长方形的这一端走到那一端。

所以只要先手能走后手一定能走，后手必胜。

对于 \(n\) 为偶数的情况同理。

---