NOIP2024集训Day23 DP常见模型3 - 区间

NOIP2024集训Day23 DP常见模型3 - 区间

A. [CSP-S 2021] 括号序列

区间 dp，令 \(f_{l, r}\) 表示从位置 \(l\) 到位置 \(r\) 一共的合法序列总情况数量。

一共有六种不同的转移情况，所以将 \(f_{l, r}\) 扩充到三维。

1. 全是 *
2. (...)
3. (...)**(...)***，左边以括号序列开头，右边以 * 结尾
4. (...)**(...)**(...)，均以括号序列开头和结尾（包含形态二）
5. ***(...)***(...)，左边以 * 开头，右边以括号序列结尾
6. ***(...)**(...)***，左右均以 * 结尾（包含形态一）

转移（序号对应上边的形态）：

1. 直接特判（暴力判断两端的距离是否 \(\le k\)，是的再转移）

2. \(f_{l, r, 1} = (f_{l +1, r - 1, 0} + f_{l + 1, r - 1, 2} + f_{l + 1, r - 1, 3} + f_{l + 1, r - 1, 4}) \times \operatorname{check}(l, r)\)，其中 \(\operatorname{check}(l, r)\) 表示判断 \(l\) 和 \(r\) 是否能匹配括号

3. \(f_{l, r, 2} = \sum\limits_{i = l}^{r -1} f_{l, i, 3} \times f_{i + 1, r, 0}\)

   均以括号序列开头和结尾是 3，右边接一串 *，是 0。

4. \(f_{l, r, 3} = \sum\limits_{i = l}^{r - 1}(f_{l, i, 2} + f_{l, i, 3}) \times f_{i + 1, r, 1} + f_{l, r, 1}\)

   左边以括号序列开头，结尾随便，符合的有 2 和 3，右边接一个括号序列，是 1，还要加上直接一个括号序列的。

5. \(f_{l, r, 4} = \sum\limits_{i = l}^{r - 1}(f_{l, i, 4} + f_{l, i, 5})\times f_{i + 1, r, 1}\)

   左边以 * 开头，结尾随便，符合的有 4 和 5，右边接一个括号序列，是 1。

6. \(f_{l, r, 5} = \sum\limits_{i = l}^{r - 1} f_{l, i, 4} \times f_{i + 1, r, 0} + f_{l, r, 0}\)

   左边以 * 开头，以括号序列结尾，符合的是 4，右边接一串 *，是 0，还要加上全是 * 的。

答案必须是以括号序列开头，括号序列结尾，于是为 \(f_{1, n, 3}\)。

初始化：对于所有的 \(1\le i\le n\)，有 \(f_{i, i - 1, 0} = 1\)。

时间复杂度 \(\Theta(6\times n^3)\) 不到。

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B. [BalticOI 2009 Day1] 甲虫

区间 dp。

在枚举一个 \(c\)，表示要喝 \(c\) 滴水的前提下，记 \(f_{l, r, 0}\) 表示喝完区间 \([l, r]\) 的水且在 \(l\) 的浪费的水的最小体积，\(f_{l, r, 1}\) 表示在 \(r\)。所谓浪费的水体积也就是蒸发掉的水体积数，其中包括已经和掉的 \(r - l + 1\) 滴和没有喝的 \(c - (r - l + 1)\) 滴。所浪费的水体积就是 \((c - (r - l + 1))\times \Delta x\)。

方程：定义 \(len = r - l + 1\)。

\(f_{i, j, 0} = \min(f_{l + 1, r, 0} + (c - len + 1) \times (x_{l + 1} - x_l), f_{l + 1, r, 1} + (c - len + 1) \times (x_r - x_l))\)

\(f_{i, j, 1} = \min(f_{l, r - 1, 1} + (c - len + 1) \times (x_r - x_{r - 1}),f_{l, r - 1, 0} + (c - len + 1) \times (x_r - x_l))\)

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C. 方块消除

区间 dp。难点在于消除一块后，可能会有后面的继续并上。

定义状态 \(f_{i, j, p}\) 表示，仍然只考虑区间 \([i, j]\)，但此时我知道 \(j\) 后面有 \(p\) 个和 \(j\) 颜色相同的块，在该种情况下能得到的最大收益。

对于 \(f_{i, j, p}\) 有如下几种决策：

1. 直接消除 \(j + p\) 这一段，收益为 \(f_{i, j - 1, 0} + (x_j + p)^2\)。

2. 分段处理，将区间分成两部分，每部分单独考虑贡献，然后再相加。

   在 \([i, j - 1]\) 中找一个与 \(j\) 颜色相同的坐标 \(k\)，将区间分为 \([i, k]\) 和 \([k + 1, j - 1]\)，此时的两个子状态分别为 \(f_{i, k, x_j + p}\) 和 \(f_{k + 1, j - 1, 0}\)。意义就是先消除 \([k + 1, j - 1]\) 这一段，然后把后面那一坨并过来。

   当 \(i=j\) 时，直接返回 \((x_j + p)^2\)。

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F. [AGC020E] Encoding Subsets

区间 dp。加入考虑标准的区间，子集等定义不好处理。

考虑对字符串做 dp。设 \(f(S)\) 表示一个串 \(S\) 及其所有子集的压缩方案数。

转移方式：

1. \(S_0\) 不压缩，直接从 \(f(S_{1\sim |S| - 1})\) 转移过来。
2. \(S_0\) 与后面的压缩。

枚举循环节长度以及循环次数，找到所有循环串的交集，然后转移。

用 map 维护 dp。