数论概论——第一章

今天《数论概论》到了。决定每天看一章，搞懂一章，两个月完全消灭。

第一章——什么是数论、

说也奇怪，我莫名其妙就开始研究数论了，这也许是一个好的开始吧，既然这样，为何不继续研究呢。

每本书的第一章似乎都是那么的简单，其实也未必简单啦。

第一章介绍了一些常见的数，

奇数，

偶数，

平方数，

立方数，

素数，

合数，

与1同余的数

与3同余的数

完全数

斐波那契数

等等

其实我又想起来什么回文数，水仙花数，完数之类的，感觉挺不错的。

提到了几个典型的数论问题，

提及了勾股数组（毕达哥拉斯三元组）

孪生素数，

形如N^2+1 的数

这里讲到了一个高斯证明1+2......+100的故事

高斯用的方法是

两个对角线+ 主对角线 = 正方形

习题1.1 题目居然是错的,坑爹啊，题目应该是既是平方数又是三角数才对。

事实证明存在无穷个三角平方数。

下面是在以为老师的博客中看到的。讲到了佩尔方程，其实我不了解这个方程。

先回顾一下笨拙的解法。

    数学中讲求数形结合。有些数可用图形来表示，如：三角数指的是可排列成三角形的数，前几项是1，3，6，10，15，21，28，36。平方数指的是可排列成正方形的数，前几项是1，4，16，25，36。容易发现1和36同在两列数中。请问这样的三角平方数有多少个呢？

    以下的思路是自然的。设平方数为 ${{m}^{2}}$ ，三角数为 $\frac{n(n+1)}{2}$ ，需证明 $\frac{n(n+1)}{2}={{m}^{2}}$ 有无数个整数解。
    好像无路可走了，尝试着将等式变形。该式可化为 $4n(n+1)+1=8{{m}^{2}}+1$ ，即 ${{(2n+1)}^{2}}=2{{(2m)}^{2}}+1$ 。

    突然间，豁然开朗。若设 $x=2n+1$ ， $y=2m$ ，得 ${{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=1$ ，这不就是佩尔方程么？此方程显然有解 $(3,2)$ ，即 ${{3}^{2}}-2\centerdot {{2}^{2}}=1$ ，即 $(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=1$ 。对该式两边平方 ${{(3+2\sqrt{2})}^{2}}{{(3-2\sqrt{2})}^{2}}=1$ ，即 $(17+12\sqrt{2})(17-12\sqrt{2})=1$ ，即 ${{17}^{2}}-2\centerdot {{12}^{2}}=1$ ，这样得到一组新的解 $(17,12)$ 。可继续对等式 $(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=1$ 两边进行自乘，得到新的解，这一过程可无休无止地进行下去。

    佩尔方程，我是见过多次的。在很多极其相似的初等数论教材中，我都看到：形如 ${{x}^{2}}-d{{y}^{2}}=1$ 的方程叫作佩尔方程，其中 $d$ 是固定的正整数且不是完全平方数。学了佩尔方程，原以为不过屠龙术而已，在此终于用上了一回，不亦快哉！