提高图论大全-无题解版

不废话，直接进入正题qwq。

1.无向图的DFS树

[CF962F] Simple Cycles Edges

题意：给定n点m边的无向图，找出所以边 \(u-v\)，满足边 \(u-v\) 恰好在一个简单环上。(\(n\leq 10^5\))

[BZOJ4238] 电压

题意：给定 \(n\) 点 \(m\) 边的无向图，找所有边 \(u-v\)，使得删去它后，能将图二染色。(\(n\leq 10^5\))

Sabotage

题意：给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的DAG，定义无出度的点为关键点。\(q\) 次询问，给定点 \(u\) , \(v\)，需要删掉一个点使得这两个点 均不能到达任意一个关键点，求删点的方案数。(\(n\leq 10^5\))

2.欧拉路

[POJ1386] Play on Words

题意：给定n个单词，要求合适的顺序排成一排，使后一个单词的首字母等于前一个单词的末字母。

3.哈密顿路

求法：设 \(f(i,S)\) 为当前在点 \(i\)，经过的点集为 \(S\)，枚举下一个点 \(j\) 转移即可。

4.最小生成树

[JSOI2008] 最小生成树计数

题意：求无向图 \(G\) 的最小生成树个数\(\mod 31011\). (\(n\leq 100\))

[USACO08OCT] 打井

题意：\(n\) 块农田，浇灌它可以从其他农田引水或者在这块农田上打井。在第 \(i\) 块地打井的代价为\(w_i\)，连接农田 \(i,j\) 的代价为 \(p_{ij}\)。至少打一口井，求最小代价。

[BZOJ3714] Kuglarz

题意：有 \(n\) 个杯子，有些下面可能藏着球，可以花 \(c_{ij}\) 元知道杯子 \(i\to j\) 下面藏球总数的奇偶性。求最少需要多少钱知道哪些杯子底下藏着球。

[CF437D] The Child and Zoo

题意：给定 \(n\) 点 \(m\) 边的图，每个点有权值 \(a_i\)。对于每对点 \((u,v)\)，选择一条 \(min\{a_i\}\)最大的路径，记这个值为 \(f(u,v)\)。求所有 \(f(u,v)\) 的平均值。

[BZOJ2395] [Balkan2011] Time is Money

题意：给定 \(n\) 点 \(m\) 边的图，每个点有两个非负权值 \(t_i,c_i\)，求一棵生成树 \(T\)，最小化

\[(\sum_{e\in T}t_e)(\sum_{e\in T}c_e) \]

\(n\leq 200, m\leq 10000\)

5.斯坦纳树

模板：[WC2008] 游览计划

习题：[LOJ2977] [THUSC2017] 巧克力

6.最短路

[POJ3613] Cow Relays

题意：给定 \(n\) 点 \(m\) 边的图，求 \(s\to t\) 恰好经过 \(k\) 条边的最短路的长度。\(n\leq 200，k\leq 10^6\)

[POJ1734] Sightseeing Trip

题意：带权无向图上求边权之和最小的简单环。\(n\leq 100\)

[POJ1860] Currency Exchange

题意：\(n\) 种货币，\(m\) 种兑换关系。每次兑换需要手续费，比如当你用\(100\)A币换B币时，A到B的汇率是 \(29.75\)，手续费是 \(0.39\)，那么你可以得到 \((100-0.39)\times 29.75\) B币。现在手上有 \(x\) 元S币，问经过兑换最后换回S币，金额数能否增加。

[BZOJ2118] 墨墨的等式

题意：给定 \(n\)，数列 \(\{a_n\}\)，常数 \(B\) 的取值范围，求有多少个 \(B\) 使下面的等式存在非负整数解。

\[\sum_{i=1}^n a_ix_i=B\;\;\;\;\;n\leq 12\;\;\;a_i\leq 5\times 10^5\;\;\; 1\leq B\leq 10^{12} \]

[经典构图] 区间覆盖

题意：\(n\) 个区间 \([L_i,R_i]\)，代价 \(w_i\)。选出一些区间覆盖 \([1,n]\)，最小化代价和。

差分约束系统

[ZJU1508] Interval

题意：有 \(0,1,2,...,m\) 共 \((m+1)\) 个整数，从中选一些。\(n\) 个要求，每个要求形如 \([l_i,r_i]\) 中选的数的个数不少于 \(c_i\)。最小化选出数的个数。 \(n\leq 5\times 10^4\)

[POJ1275] Cashier Employment

题意：一家 \(24\) 小时便利店，每个小时需要一定数量的出纳员，记为 \(R_1,R_2...R_{24}\)，有 \(n\) 人申请这项工作，如果 \(i\) 被录用，他会从 \(t_i\) 时刻开始连续循环工作 \(8\) 个小时。最小化总出纳员数。\(n\leq 1000\)

7.Tarjan

知识点：强连通分量，割点，桥，点双联通分量，边双联通分量，2-sat。

常见简单套路：缩点转 DAG，再利用DAG的性质dp或者干别的，相关习题：[TYVJ1936] 太空战队，[HDU2767] Proving Equivalences

[HNOI2012] 矿场搭建

题意：煤矿工地可以看成是由隧道连接挖煤点组成的无向图。为安全起见，希望在工地发生事故时所有挖煤点的工人都能有一条出路逃到救援出口处。于是矿主决定在某些挖煤点设立救援出口，使得无论哪一个挖煤点坍塌之后，其他挖煤点的工人都有一条道路通向救援出口。问至少需要设置几个救援出口，以及不同最少救援出口的设置方案总数。

[POJ3177] Redundant Paths

题意：给定 \(n\) 点 \(m\) 边的无向图，求至少加入多少条边后，图是边双联通的。

[HDU4612] Warm Up

题意：给定 \(n\) 点 \(m\) 边的无向图，问添加一条边后，桥最多能减少多少个。

2-sat 模板：[POJ3678] Katu Puzzle

8.二分图

若干定理：最小点覆盖=n-最大独立集=最小路径覆盖=最大匹配

[ZJOI2007] 矩阵游戏

题意：给定一个黑白矩阵，每次可以交换两行两列，问若干次操作后，能否使一条主对角线上的点都为黑点。

[SCOI2010] 游戏

题意：\(n\) 个装备，每个装备有两个属性，为每个装备选择一个属性，使得从 \(1\) 开始的连续属性最多。

[BZOJ2150] 部落战争

题意：给定 \(n\times m\) 的带障碍网格图。一次行动可以从一个未经过的点开始，向下方跳一个 \(r\times c\) 大小的矩形，问最少的行动次数，使得除障碍点外其他所有点都被经过。

9.结语

提高组图论的知识点非常杂，但是如果我们理解了每个算法的精髓，再难的问题也会迎刃而解——这需要时间和努力。努力让自己更强一点，哪怕，一点点......