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前面标 * 的是还没写的嘻嘻嘻

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题单：

• dp 好题 这个题单的题目都很好啊

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状压 dp

CF53E： \(f_{i,j}\) 前一维表示现在连通的点，后一维表示叶子节点。每一次转移从 \(i\) 中取出 \(u\) ，从 \(i\) 的补集中取出 \(v\) ，连一条边（注意，如果 \(u\) 在 \(j\) 内，要记得删去）。考虑如何去重，发现对于同一颗树，会统计 叶子节点个数 次，于是最后计算答案时除以 popcount(j) 即可。

tips：还有其他去重方法，后面可以学一下。也可以通过控制枚举顺序去重，或是容斥+矩阵树定理。

*CF8C：考虑 \(f_i\) 表示收入手提包的物品状态为 \(i\) 时的最小时间，枚举这次拿的是哪两个(如果两个相同就是拿了一个)，再用一个数组记录一下是从哪里转移过来的以输出方案。发现取法如果只有次取的顺序不同，本质上就是重复的，可以固定一个，只枚举另一个，于是时间复杂度为 \(O(2^n \times n)\)，可以通过。

CF1773G：要从概率的角度考虑的问题。\(f_{i}\) 表示场上剩下的人的状态为 \(i\) 时的概率。

P3226：联考考到的题，其实更应该放在构造里面。从 \(1\) 开始构造一个矩阵（其实是三角形来的），往右一个 \(\times 3\)，往下一个 \(\times 2\)，对于没有在之前的矩阵出现过的数构造新的矩阵并标记。状压一下，对于一个矩阵内，求不取相邻的数的总数（类似于玉米田），把每个矩阵的总数相乘即可。

ボール：\(x_i \leq 15\)，考虑状压。若在投球后物品状态没有改变，则会给 \(E_s\) 贡献 $E_s \times \frac{1}{3} $ ，否则设状态改变为 \(s2\)，则会贡献 $E_{s2} \times \frac{2}{3} $。考虑由 \(s\) 转移到 \(s_2\)，钦定要打的位置，设可能打到的三个位置中为 \(1\) 的位置个数为 \(cnt\)，则

\[ E_s = \min_{}{1+ \frac{1}{3} \sum{}{E_{s_2}} + \frac{cnt}{3} E_s } \\ \]

\[\Rightarrow E_s = \frac{1+ \frac{1}{3} \sum{}{E_{s_2}} }{1-cnt} \]

记忆化搜索即可。

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矩阵优化

热知识：矩阵乘法的时候先枚举 \(k\) 常数更小。

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对于线性递推式，如何构造答案矩阵和转移矩阵？先构造答案矩阵，横着构造，转移式每一项除以常数放进去，转移矩阵对着构造就可以了。

P1962：小清新例题，构造答案矩阵与转移矩阵即可

P5059：推式子找规律发现是斐波那契数列。

P3873：典型的线性递推式，直接用一开始说的方法推矩阵：

\[Ans = \begin{bmatrix} w_{i} & w_{i-1} & \cdots & w{i-n+1} \end{bmatrix} \]

\[T = \begin{bmatrix} a_{1} & 1 & 0 & \cdots & 0\\ a_{2} & 0 & 1 & \cdots & 0\\ &&\cdots \\ a_{n} & 0 & 0 & \cdots &1 \end{bmatrix} \]

P5392：看到 \(x\) 很小而 \(L\) 很大，想到状压+矩阵快速幂。

先考虑一层，独立集要求每对相邻的不能同时选，\(2^x\) 枚举一下，记可行状态总数为 \(m\)。再考虑多层，设 \(f_{i,j}\) 为到第 \(i\) 层，其状态为可行状态 \(j\) 时的独立集总数，则有：

\[f_{i,j} = \sum_{ staj \& stak }{f_{i-1,k}} \]

构造矩阵：

\[\begin{bmatrix} f_{i,1} & f_{i,2} & \cdots & f_{i,m} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} able(1,1) & able(2,1) & \cdots & able(m,1) \\ able(1,2) & able(2,2) & \cdots & able(m,2) \\ && \cdots \\ able(1,m) & able(2,m) & \cdots & able(m,m) \end{bmatrix} \]

然而，因为一层可行的状态有 \(3000\) 多个，所以会超时。考虑将本质相同的状态合并（即旋转后相同），将 \(able\) 数组从能不能改为有多少个，于是减少到了 \(211\) 种，可以通过。

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邻接矩阵的 \(k\) 次幂可以表示长度为 \(k\) 的有向路径数目。

P3758：原地停留就是自己连向自己，走到下一个就是普通连边，爆炸就是把所有点连到一个超级汇点，做完了。

P4159：考虑上面的性质，发现如果路径长度都为 \(1\) 的话直接矩阵快速幂即可。考虑处理路径长度，发现 \(c_{i,j}\) 最大为 \(9\)，于是直接把每个点拆成 \(9\) 个，看着连就可以了。

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P3193：套路地，令 \(f_{i,j}\) 表示大串匹配到第 \(i\) 位，小串匹配到第 \(j\) 位。因为下一位没有匹配上也可能因为有 border 所以转移到的 \(j\) 不为 \(0\)，记失配后小串可以继续从 \(p\) 匹配，有：

\[f_{i,j} = \sum_{k=0}^{9}{f_{i-1,p}} \]

记 \(g_{i,j}\) 为 当前小串匹配到 \(i\)，有多少种方案让下一位匹配到 \(j\)，用 kmp 求出，则原式可以转化为：

\[f_{i,j} = \sum_{k=0}^{m-1}{f_{i-1,k} \times g_{k,j} } \]

发现这个式子很像矩阵乘法，于是用矩阵快速幂加速。

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杂题

CF2110D：联考考的，二分完拓扑排序一下做完了，不知道我为啥这么唐。有单调性多想想二分，好吗？好的。