20260117 - 期末测验 总结

我为啥只是个 rk3 啊这么菜的吗。

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A - ±1 Operation 2

哇哦第一道就是以往的 ABC D 题，难度上来了喔！

水题。显然所有小于 \(X\) 的 \(a_i\) 就只会使用加法操作，所有大于 \(X\) 的 \(a_i\) 就只会使用减法操作。考虑对 \(a_i\) 排序然后求前缀和，对于每个询问的 \(X\) 二分查找 \(a\) 序列中第一个大于 \(X\) 的位置 \(p\)。记 \(\sum_{i=1}^{p-1} a_i = S\)，\(\sum_{i=p}^{n} a_i = T\)，则这次询问的答案为 \(x(p-1)-S + T-xp\)。

注意到与 \(X\) 相等的 \(a_i\) 不管是放在 \(S\) 还是放在 \(T\)，哪一边都是可以的。

完了 T1 就是黄，怎么一个签子也没有啊？！

B - Fedor and New Game

求二进制有几位不同，考虑做异或 \(\oplus\) 运算后求 \(\text{popcount}\)，看是否 \(\le k\) 即可。时间复杂度 \(O(nm)\)。

C - Road Reduction

发现可以从节点 \(1\) 出发跑 Dijkstra，每次更新 \(dis\)，只要遇到更优的就更新，这样最后跑出来的总是一棵树的形态，满足题目要求。对于每个除了 \(1\) 的点记录过来的边，之后输出即可。

注意到这是一个有赛后 Hack 的 ABC E 题，我们需要再 Dijkstra 里加一句剪枝：如果当前取出的堆顶 \(u\) 所对应在堆里存储的路径长度 \(d\) 与实际上 \(u\) 对应的路径长度 \(dis_u\) 不符，就直接跳过这一段。这样能节省时间，不然你会在 Hack 上 T，这便是我那一发罚时的由来 /kel

D - Air Conditioners

水题来着。所以 hhy 到底作弊没有。

题目说的很明白了，虽然题面很长（但大多都是在举例子讲废话喵！），简单地说就是找所有空调中，温度加上与该位置的距离的和的最小值。

考虑使用一些，类似模拟，或者说是 DP 的递推东西来解决这个玩意儿。定义 \(dp_i\) 表示单元格 \(i\) 的温度，最初有所有 \(dp_i = \infty\)，但是 \(dp_{a_i} = t_i\)。

接着考虑正着反着各推一遍，正着时让 \(dp_i = \min(dp_i , dp_{i-1} + 1)\)，反着时同理，让 \(dp_i = \min(dp_i , dp_{i+1} + 1)\)，因为空调温度不会变但距离总之要 \(+1\)。

最后求出的 \(dp_i\) 就是单元格 \(i\) 的准确温度了，直接输出即可。

E - Fools and Roads

非常开心地拿到了首 A。

发现该题的图为一棵树，然后所谓傻瓜们走的是简单路径，即，我们只需要找到 \(\text{LCA}\) 然后树上差分维护最后跑一通 DFS 还原答案即可。

注意这里要处理的是边的经过次数不是点，并且需要存边的编号。

F - Palindromic Partitions

考虑贪心，从最前面和最后面开始找，从小到大枚举串的长度，一旦匹配上了就缩进，到了中间继续找。

发现是否匹配这一步骤可以使用 Hash 来判断，用双指针做，均摊 \(O(n)\) 没任何问题。然后你就过了。

G - Magic Ship

开心地签下了首 A 并成功场一道 *1900，开心喵。

发现当你知道现在能航行 \(D\) 天的时候是非常好做的，先利用前缀和与余数求出只靠风向在这 \(D\) 天后会跑到哪里去，然后将这个位置与正确的位置求曼哈顿距离，只要这个距离不超过 \(D\)，该天数 \(D\) 便可行。

显然该问题存在单调性，如果航行 \(D\) 天到不了，那航行 \(D-1\) 天肯定更到不了；如果航行 \(D\) 天能到，那航行 \(D+1\) 天肯定也到得了。于是就可以考虑二分答案了，check 函数是好写的，上面已经讲完了，只需要在最开始预处理维护个前缀和即可 qwq。

H - Yet Another Yet Another Task

我如果切出来了，我就是 rk1 吧！

看似轻松地说出这句话但内心是绝望的。为什么啊啊啊啊啊啊啊 TAT

注意到卡牌价值的数据范围特别小，启发我们可以从这个值域方面下手。