20251220 - LCA 总结

比赛链接：https://vjudge.net/contest/776080。

大家好我是一只小菜喵。

咋了 rk13 还不菜吗，好吧我只能告诉你我还没补题（摊手

最近公共祖先（LCA）

定义

在有根树上，对于两个节点 \(u\) 和 \(v\)，这两个节点的所有公共祖先中，距离根节点最远的节点，也就是深度最深的节点，或者说是距离 \(u\) 和 \(v\) 最近的节点，就称它为 \(u\) 和 \(v\) 的最近公共祖先，全称 Lowest Common Ancestor，简称 LCA。

暴力求解

咳咳，首先来考虑一下用最暴力的方式，来求两个节点 \(u\) 和 \(v\) 的 LCA。

首先我们肯定需要维护每个节点 \(x\) 的深度 \(dep_x\) 以及它的父亲节点 \(fa_x\)。显然的，距离根节点越远的节点深度越大。有深度推导公式 \(dep_x = dep_{fa_x} + 1\)。

接着来考虑具体的求解。假设 \(dep_u \ge dep_v\)。

考虑先把 \(u\) 的深度调整至与 \(v\) 相等。但你肯定不能更改 \(dep_u\) 的值啊，不然树的结构就乱了，所以当然是让 \(u\) 沿着它的一层层祖先节点往上跳咯。直到 \(dep_u = dep_v\)，我们就结束这个过程。

接下来就是求最近公共祖先的核心步骤了。只要 \(u \not= v\)，我们就不断让 \(u = fa_u\) 并 \(v = fa_v\)，沿着祖先节点一直往上跑，直到相遇，相遇在的这个节点 \(u\)（或者 \(v\)，没区别，因为它俩一样的）就是原 \(u\) 和 \(v\) 的最近公共祖先 LCA。

但是我们发现这个东西的时间复杂度最坏是 \(O(D)\) 的，其中 \(D\) 为这棵树的深度，最大可达到 \(n\)。这可不行！要是多跑上几次就炸了。咋办呢？

倍增优化

不用担心哈哈，你的好朋友倍增来了。

使用倍增优化可以让求解 LCA 的速度从 \(O(n)\) 降低到 \(O(\log n)\)，是不是很高效呢？

高效是高效但你还没说怎么用（

别急。既然要倍增，那我们就该改变我们存储祖先节点的方式。先前是只存了自己的父亲节点，现在我们让 \(f_{x,i}\) 存储 \(x\) 往上跳 \(2^i\) 步的祖先节点的编号，如果跳不了这么多步就是 \(0\)（其实是根也是可以的哈）。不难发现 \(f_{x,0}\) 就是 \(x\) 的父亲节点。

那么求 LCA 那里的两次跳跃就都可以用倍增来实现了，注意后面那一次跳跃是跳到最后一个不相同的祖先节点那个位置，也就是最后一个 \(u \not= v\)，再上一步就是 \(u=v\) 了，所以返回的是 \(f_{u,0}\)（等同于 \(f_{v,0}\)）。