YAOI Round #17 (Div.2) C. Sum 题解

出题人题解。

考虑差分，记 \(c_i=a_i-a_{i-1}(i>1)\)。

对 \(a_i\) 进行操作后原数组和差分数组的变化如下：

\(a_i=a_{i-1}+a_{i+1}-a_i\)

\(c_i=(a_{i-1}+a_{i+1}-a_i)-a_{i-1}=a_{i+1}-a_i\)

\(c_{i+1}=a_{i+1}-(a_{i-1}+a_{i+1}-a_i)=a_i-a_{i-1}\)

我们发现，对 \(a_i\) 进行操作等价于交换 \(c_i\) 和 \(c_{i+1}\)。

所以题目可以转换为：对数列的差分数组进行任意排列，求最后和的最大值。

令 \(c_1=a_1\)，则有 \(a_i=c_1+c_2+...+c_i\)，

\(\therefore \sum\limits_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+...+a_n=(c_1)+(c_1+c_2)+...+(c_1+c_2+...+c_n)=n \times c_1+(n-1) \times c_2+...+1 \times c_n\)

那么我们只需要将 \(c\) 数组从大到小排个序就好了。

需要注意的是，\(a_1\) 是不会改变的，所以 \(c_1\) 也不会改变，排序的时候不能把 \(c_1\) 放进去。

std：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int t,n,a[100003],c[100003];
long long ans; //答案可能爆 int
inline bool cmp(int x,int y){ //排序的辅助函数，作用是改变排序方式 
    return x>y; //x>y 是从大到小，改成 x<y 就是从小到大 
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(~--t){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;++i){
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        for(int i=2;i<=n;++i){
            c[i]=a[i]-a[i-1]; //差分数组 
        }
        sort(c+2,c+n+1,cmp); //从大到小排 
        ans=1ll*n*a[1]; //第一个数不会变，所以一定被加 n 次 
        for(int i=2;i<=n;++i){
            ans+=1ll*(n-i+1)*c[i]; //第 i 大的数被加 n-i+1 次 
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

上面那个是比较方便理解的，事实上，代码可以写的更简短一些：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int t,n,a,b,c[100003];
long long ans; 
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(~--t){
        scanf("%d%d",&n,&a),ans=1ll*n*a;
        for(int i=1;i<n;++i){
            scanf("%d",&b),c[i]=b-a,a=b;
        }
        sort(c+1,c+n);
        for(int i=1;i<n;++i){
            ans+=1ll*i*c[i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}