欧拉图相关

判定

• 无向图欧拉路径 ：仅仅存在两个点度数为奇数，其余为偶数
• 无向图欧拉回路 ：度数均为偶数

图应该是连通的。

• 有向图欧拉路径 ：存在两个点入度出度满足 1 / -1 的增量，其余相等
• 有向图欧拉回路 ：入度 = 出度

需满足图是弱连通的。

注意度数为 \(0\) 的孤立点是可以存在的。

求解欧拉路径

ZR CSP七连 Day 7

给定二元组序列 \((A,B)\)，要求构造排列，使得 \(A_{i} = A_{i+1}\) 或 \(B_{i} = B_{i+1}\) 成立，且 \(A_{i} = A_{i-1} = A_{i+1}\) 和 \(A_{i} = A_{i+1} = A_{i-1}\) 都不成立。 使得出现时间的字典序最小。\(n \le 10^5\)。

首先 \(A_{i} \to B_{i} + n\) 连无向边。

那么题目中就是要求就是求这个图的一个欧拉路径。

因为，第二个条件等价于无向边只能走一次。

如果存在两个度数为奇数的点，那么分别 dfs 求一遍

否则从 \(A_{1}, B_{1}\) 开始 dfs。

然后呢，每次删除一条边，继续dfs。

#include <bits/stdc++.h>
#include <assert.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define PII pair<int,int>
#define mp make_pair
#define ep emplace_back
typedef long long ll;
typedef double db;
inline int read(){
	int x=0,v=1,ch=getchar();
	while('0'>ch||ch>'9') {if(ch=='-')v=0;ch=getchar();}
	while('0'<=ch&&ch<='9') {x=x*10+(ch&15);ch=getchar();}
	return v?x:-x;
}
const int MAX = 1e6+5;
int n, a[MAX], b[MAX];
vector<PII>G[MAX];
int cur[MAX], ans[MAX], tmp[MAX] ;
int deg[MAX], vis[MAX];
void dfs(int x) {
	for(int i = cur[x]; i < G[x].size(); i = cur[x] ) {
		cur[x] = i + 1;
		int y = G[x][i].fi;
		if(!vis[y]) {
			vis[y] = 1;	
			dfs(G[x][i].se);
			ans[++ans[0]] = y;
		}
	}
}
void work(int x) {
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(cur,0,sizeof(cur));
	ans[0] = 0;
	dfs(x);
	if(ans[0] < (n / 2)) {
		puts("No");
		exit(0);
	}
	for(int i=ans[0];i>0;--i) {
		if(tmp[i] > ans[i] || tmp[i] == 0) {
			swap(tmp, ans);
			break;
		}
		if(tmp[i] < ans[i]) {
			break;
		}
	}
	
}
signed main() {
	n = read();
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		a[i] = read();
		b[i] = read() + n;
		G[a[i]].ep(mp(i, b[i]));
		G[b[i]].ep(mp(i, a[i]));
		deg[a[i]] ++;
		deg[b[i]] ++;
	}
	
	for(int i=1;i<=n+n;++i) sort(G[i].begin(), G[i].end());
	
	int S = 1, cnt = 0;
	for(int i=1;i<=n+n;++i)  if(deg[i] & 1) ++ cnt;
	if(cnt != 0 && cnt != 2) return puts("No"),0;
	
	if(cnt == 0) {
		work(a[1]);
		work(b[1]);
	}else {
		for(int i=1;i<=n+n;++i) if(deg[i] & 1) work(i);
	}
	puts("Yes");
	for(int i=n;i>=1;--i) printf("%d ",tmp[i]);
	return 0;
}