【狄利克雷前缀和 / 后缀和】算法学习

1. 狄利克雷前缀和

问题描述

有数列 \(\{a\}\)，求数列 \(\{b\}\) 满足

\[b_k = \sum_{i|k} a_i \]

数列长度 \(n \le 2 \times 10 ^ 7\)。

分析

考虑质因数分解，某个数 \(x = \prod\limits p_{i} ^ {\alpha_i}\), 将其写成行向量 \((\alpha_1,\alpha_2, \dots,\alpha_k)\)。 那么每次乘一个素数 \(p_i\)，使得 \(\alpha_i + 1\)。 于是可以用这个向量描述贡献 \(x \to x\cdot p_i\) 。这本质上是个 \(k\) 维前缀和的过程。

可是素数是无限多的，我们考虑状态压缩，发现只需要用原来的数表示这个向量即可。状态数 \(\mathcal{O(n)}\)。

时间复杂度与埃筛法类似，\(\sum \dfrac{n}{p} = \mathcal{O(n\log\log n)}\)

P5495

void init(int N) {
	for(int i=2;i<=N;++i) {
		if(!f[i]) f[i] = 1,p[++p[0]] = i;
		for(int j=1;j<=p[0] && i*p[j]<=N;++j) {
			f[i*p[j]] = 1;
			if(i % p[j] == 0)break;
		}
	}
}
signed main(){
	int n = read(); cin>>seed;
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i] = getnext();
	init(n);
	for(int i=1;i<=p[0];++i) {
		for(int j=1; j*p[i] <= n;++j) {
			a[j * p[i]] += a[j];
		}
	}
	uint ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;++i) ans ^= a[i];
	cout << ans << endl;
	return 0;
}