luogu P1390 【公约数的和】
莫比乌斯反演入门题
前置芝士
- 数论分块，一点点莫比乌斯反演
正文
可以考虑先求
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j)
\]
然后再去重。
可以想到枚举\(n\)以内的\(p\)，把对答案的贡献改成\(p\times gcd(i,j)=p\)的数的个数
\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=p]
\]
化简式子
\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }[gcd(i,j)=1]
\]
因为\([gcd(i,j)=1]\)只有\(gcd(i,j)=1\)有\(1\)的贡献，否则没有，所以可以替换为\(\varepsilon(gcd(i,j))\)
\(\varepsilon(x)\)即为当\(x=1\)时对答案贡献为\(1\)，否则为\(0\)
所以现在转化为了
\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }\varepsilon(gcd(i,j))
\]
由\(Dirichlet\)卷积得
\(\varepsilon =\mu*1 \Leftrightarrow \varepsilon(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\)
所以原式转化为
\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)
\]
转化一下求和顺序
\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{d=1}{\mu(d)}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }[d\ |\ i]\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}[d\ | \ j]
\]
后面两个即为求\(\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor\)中\(d\)的倍数，易知其答案为\(\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor\)
所以答案转化为
\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{d=1}\mu(d)\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor
\]
后面那玩意用数论分块和前缀和即可。
\[ans=\frac{\sum_{p=1}^{n}p\sum_{d=1}\mu(d)\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor-\frac{n(n+1)}{2}}{2}
\]
\(Code：\)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){
register int x=0,f=0,ch=getchar();
while('0'>ch||ch>'9')f^=ch=='-',ch=getchar();
while('0'<=ch&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
return f?-x:x;
}
const int MAX=2000005;
int n,tot,p[MAX],f[MAX],mu[MAX];
inline void Gmu(){
mu[1]=1;tot=0;
for(register int i=2;i<=n;++i){
if(!f[i]){
p[++tot]=i;
mu[i]=-1;
}
for(register int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j){
f[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0){
mu[i*p[j]]=0;
break;
}
mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
for(register int i=1;i<=n;++i)mu[i]+=mu[i-1];
}
int res,ans;
inline void solve(int n,int p){
res=0;
for(register int l=1,r;l<=n;l=r+1){
r=n/(n/l);
res+=(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(n/l);
}
ans+=res*p;
}
signed main(){
n=read();
Gmu();
for(register int p=1;p<=n;++p)solve(n/p,p);
printf("%lld\n",(ans-(n*(n+1)>>1))>>1);
return 0;
}
写得有什么问题麻烦私信笔者，谢谢
