求导简记

前言

内容来源网络，可能多有错漏，仅为个人理解。

增量、导数与微分

假定函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，自变量 \(x\) 从 \(x_0\) 变为 \(x_0+\Delta x\) 时，因变量 \(f(x)\) 从 \(f(x_0)\) 变为 \(f(x_0+\Delta x)\)，则称 \(f(x)\) 的对应增量为：

\[\Delta f(x)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \]

由此可以定义函数连续性，称 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续若：

\[\lim_{\Delta x\to 0}\Delta f(x)=0 \]

考虑求导，\(f(x)\) 的导数可以记作 \(f'(x)\)、\(Df(x)\) 等，其含义为 \(f(x)\) 的变化率，等于 \(\Delta f(x)\) 与 \(\Delta x\) 比值的极限：

\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \]

假定函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，当自变量取得增量 \(\Delta x\) 相应因变量取得增量 \(\Delta f(x)\) 时，若 \(\Delta f(x)\) 与 \(\Delta x\) 之比当 \(\Delta x\to 0\) 时的极限存在，称 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，可以记作 \(f'(x)|_{x=x_0}\) 或 \(\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}\)。

\(f(x)\) 在 \(x\) 上可导的前提是 \(f(x)\) 在 \(x\) 上连续。

关于微分，我们表示 \(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\)，其中 \(A\) 为不依赖于 \(\Delta x\) 的常数，则 \(A\Delta x\) 称作 \(y=f(x)\) 相应于 \(\Delta x\) 的微分，记作 \(dy=A\Delta x\)。

微分意为 \(\Delta y\) 是 \(\Delta x\) 的线性函数，可微的充要条件是可导，微分是增量 \(\Delta y\) 的一个近似值。通常将 \(\Delta x\) 称为自变量的微分，记作 \(dx\)，因此有：

\[f'(x)=\frac{df(x)}{dx} \]

求导法则

1. \((x^n)'=nx^{n-1}\)
2. \((\sin x)'=\cos x,(\cos x)'=-\sin x\)
3. \((e^x)'=e^x\)
4. \((a^x)'=\ln a\cdot a^x\)
5. \((\ln x)'=\frac{x}{1}\)
6. \((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
7. \((\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)
8. \((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)
   这一条可以解释一下：\(Df(g(x))=\frac{df(g(x))}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot\frac{dg(x)}{dx}\)

可以用 \(f^{(i)}(x)\) 或 \(D^if(x)\) 表示 \(f(x)\) 的 \(i\) 阶导，也有画几个撇表示几阶导的表示方法，不过撇的数量一般不超过 \(3\)。

\(\partial\) 是偏导符号，用于多元函数关于某一变量的求导，用法和 \(d\) 差不多，一种表示方法为 \(f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\)，记 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处对 \(x\) 的偏导数为 \(f_x(x,y)|_{x=x_0\\y=y_0}\) 或 \(\frac{\partial f}{\partial x}|_{x=x_0\\y=y_0}\)。

泰勒展开

泰勒（Taylor）展开使用 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 上不断求导后得到的函数值表示出函数本身，从而将函数表示称多项式或形式幂级数形式：

\[f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i \]

当 \(x_0=0\) 时称之为麦克劳林（Maclaurin）展开，即：

\[f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i \]

考虑证明，证麦克劳林展开即可，泰勒展开相当于对 \(x_0\) 进行平移。设 \(f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix_i\)，不断对 \(f(x)\) 求导得到下式：

\[f^{(n)}(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\prod_{j=i+1}^{n+i}j\cdot a_{n+i}x^j\\ \implies f^{(i)}(0)=i!a_i\implies a_i=\frac{f^{(i)}(0)}{i!} \]

带入 \(f(x)=e^x\) 即可推出 EGF 公式，带入 \(f(x)=\frac{1}{1-x}\) 即可推出 OGF 公式。

牛顿迭代

牛顿迭代通过在函数上不断作切线来快速求出一个在 \([a,b]\) 上连续且单调的函数 \(f(x)\) 近似的零点。初始时我们从 \(f(x)\) 和一个近似解 \(x_0\) 开始。

假设我们目前的近似解为 \(x_i\)，我们画出与 \(f(x)\) 切于点 \((x_i,f(x_i))\) 的直线 \(l\)，将 \(l\) 的横截距记为 \(x_{i+1}\)，那么这就是一个更优的近似解。根据导数的几何意义，我们可以得到：

\[f'(x_i)=\frac{f(x_i)}{x_i-x_{i+1}}\\ \implies x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} \]

牛顿迭代法的收敛率是平方级别的，这意味着每次迭代后近似解的精确数位会翻倍。