关于扰动法在推柿子中的应用简记

简述

扰动法通常可以用来求柿子的递推式。柿子一般需要形如一个 \(f(k)=\sum_{i=1}^ng(k,i)\)，注意 \(k\) 不一定需要为 \(n\)。

我们有：

\[\sum_{i=1}^{n+1}g(k,i)=\sum_{i=1}^ng(k,i)+g(k,n+1)=g(k,1)+\sum_{i=2}^{n+1}g(k,i)\\ f(k)=\sum_{i=2}^{n+1}g(k,i)+g(k,1)-g(k,n+1) \]

之后我们通常会想办法把 \(\sum_{i=2}^{n+1}\) 推出 \(\sum_{i=1}^n\) 的形式，然后再推成与 \(f\) 有关的形式，即可得到一个 \(f\) 的递推式。

例题

P4948 数列求和

我们定义：

\[f(k)=\sum_{i=1}^ni^ka^i \]

有：

\[\sum_{i=1}^ni^ka^i+(n+1)^ka^{n+1}=a+\sum_{i=1}^n(i+1)^ka^{i+1} \]

可得：

\[\begin{aligned} f(k)&=(\sum_{i=1}^n(i+1)^ka^{i+1})+a-(n+1)^ka^{n+1}\\ &=(a\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}i^ja_i)+a-(n+1)^ka^{n+1}\\ &=(a\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}f(j))+a-(n+1)^ka^{n+1} \end{aligned} \]

把右式中的 \(f(k)\) 移到左边，然后两侧同除系数，得到：

\[f(k)=\frac{(n+1)^ka^{n+1}-a-a\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}f(j)}{a-1} \]

于是即可 \(O(k^2)\) 递推。

但 \(a=1\) 怎么办？此时有：

\[(n+1)^k-1-\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}f(j)=0\\ (n+1)^{k+1}-1-\sum_{j=0}^{k}\binom{k+1}{j}f(j)=0 \]

我们把 \(f(k)\) 移到另一边，得到：

\[f(k)=\frac{(n+1)^{k+1}-1-\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}f(j)}{\binom{k+1}{k}} \]

同样 \(O(k^2)\) 递推即可。