卢卡斯定理简记

卢卡斯定理

当 \(p\) 为质数且足够小，可以接受 \(O(p)\) 的时空复杂度，同时 \(n,m\) 值域过大以至于无法线性预处理时，卢卡斯定理可以求解 \(\binom{n}{m}\bmod p\)：

\[\binom{n}{m}\equiv\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\pmod p \]

证明什么的可以参考 OI-wiki 之类的，用途不大所以就不写了。

预处理 \(O(p)\)，单次查询 \(O(\log n)\)。

ll C(ll n,ll m){
	if(n<m)return 0;
	if(n<p&&m<p)return fc[n]*iv[m]%p*iv[n-m]%p;
	return C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p;
}