BEST 定理

BEST 定理

记 \(G\) 是一个有向欧拉图，\(t^{in}(G,k)\) 表示图 \(G\) 以 \(k\) 点为根的内向生成树个数，\(\varepsilon(G)\) 表示图 \(G\) 的欧拉回路数，\(\deg(v)\) 表示点 \(v\) 的入度（等于出度），有：

\[\varepsilon(G)=t^{in}(G,k)\prod_{v\in V}(\deg(v)-1)! \]

其中 \(k\) 可以为任意顶点，含义为欧拉回路起点。注意这里欧拉回路是循环同构的。图中不应包含零度点。

\(t^{in}(G,k)\) 使用矩阵树定理求即可。

证明

我们只需将以 \(k\) 为起点的欧拉回路与以 \(k\) 为根的内向生成树联系起来即可。首先我们将公式写作：

\[\varepsilon(G)\deg(k)=t^{in}(G,k)\deg(k)!\prod_{v\in V\setminus\{k\}}(\deg(v)-1)! \]

该公式的构造意为：

• 内向生成树的树边就是子节点在欧拉回路上最后一次走的出边。
• 根节点的所有出边任意排列方案数 \(\deg(k)!\)。
• 非根节点的所有非树出边任意排列方案数 \(\prod_{v\in V\setminus\{k\}}(\deg(v)-1)!\)。
• 对于同一个欧拉回路，其中 \(k\) 节点出现了 \(\deg(k)\) 次（终点即为起点不另算），每一个位置都会被算一遍，故而会算重 \(\deg(k)\) 次。

只需证明这样构造出了一个双射即可。

我们先证明每条欧拉回路都唯一对应上述生成树和出边顺序。

唯一对应出边顺序是显然的，只需证明非根节点的最后一条出边能形成一个内向生成树。若不能则必然成不包含根节点的环且终止在非根节点上，欧拉回路必然在起点中止，矛盾，得证。

接下来我们证明每组生成树和出边顺序都唯一对应一条欧拉回路。

首先我们直接按照给定的出边顺序模拟，由于是欧拉图入度等于出度所以最后必然能走回到根节点，只需证明每条边都会被走过即可。我们归纳法证明：首先这条边不可能是根节点的出边；其次，一个点有出边没被走过，当且仅当其有入边没被走过，并且其树边必然没被走过，故而其树上父节点也有出边剩余，最后会推到根节点，矛盾，不成立。

证毕。

习题

P5807 【模板】BEST 定理 / Which Dreamed It

要先判是不是欧拉图。做之前要把所有零度点删掉。

然后注意要求了从 \(1\) 出发，要判一下是不是只有 \(1\) 所在连通块有边。

这道题欧拉回路并不循环同构，故而要乘上 \(\deg(1)\)。

然后终于可以愉快地套 BEST 定理了。

code

const int N=105;

int n;
int dg[N],id[N];
int G[N][N];
vec<vec<mint>> g,d,l;

inline mint det(vec<vec<mint>> v){
	int n=v.size();mint res=1;
	repl(i,0,n)repl(j,i+1,n){
		if(!v[i][i].x)swap(v[i],v[j]),res*=-1;
		else{
			mint d=v[j][i]/v[i][i];
			repl(k,0,n)v[j][k]-=d*v[i][k];
		}
	}
	repl(i,0,n)res*=v[i][i];
	return res;
}

int uid[N],idx;
mint fc[3141593];

inline void Main(){
	cin>>n;
	repl(i,0,n)id[i]=0,uid[i]=-1;idx=0;
	repl(i,0,n)repl(j,0,n)G[i][j]=0;
	repl(i,0,n){
		cin>>dg[i];if(dg[i])uid[i]=idx++;
		rep(h,1,dg[i]){
			int x;cin>>x;--x;
			++G[i][x],++id[x];
		}
	}
	repl(i,0,n)if(dg[i]!=id[i])return put(0),void();
	if(!idx)return put(1),void();
	if(!~uid[0])return put(0),void();
	g.clear(),d.clear(),l.clear();
	g.resize(idx,vec<mint>(idx)),d=g;
	l.resize(idx-1,vec<mint>(idx-1));
	mint ans=1;
	repl(i,0,n)if(~uid[i]){
		ans*=fc[dg[i]-1];
		d[uid[i]][uid[i]]=dg[i];
		repl(j,0,n)if(G[i][j])g[uid[i]][uid[j]]=G[i][j];
	}
	n=idx;
	repl(i,0,n-1)repl(j,0,n-1)l[i][j]=d[i+1][j+1]-g[i+1][j+1];
	ans*=det(l);
	ans*=d[0][0];
	put(ans);
}