数分作业
Day 9
P174 Q2 (2)
\[\int\ln x\mathrm dx=x\ln x-\int1\mathrm dx=x\ln x-x+C
\]
P174 Q2 (3)
\[\int x^2\cos x\mathrm dx=x^2\sin x-2\int x\sin x\mathrm dx=x^2\sin x-2(-x\cos x+\int\cos x\mathrm dx)=x^2\sin x+2x\cos x-2\cos x+C
\]
P174 Q2 (7)
\[\int\left(\ln\ln x+\frac1{\ln x}\right)\mathrm dx=x\ln\ln x+C
\]
P174 Q2 (10)
\[\int\sqrt{x^2\pm a^2}\mathrm dx=x\sqrt{x^2\pm a^2}-\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\mathrm dx=x\sqrt{x^2\pm a^2}-\int\sqrt{x^2\pm a^2}\mathrm dx\mp a^2\int\frac1{\sqrt{x^2\pm a^2}}\mathrm dx\\
=x\sqrt{x^2\pm a^2}-\int\sqrt{x^2\pm a^2}\mathrm dx\mp a^2\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C\\
\Rightarrow\int\sqrt{x^2\pm a^2}\mathrm dx=\frac12(x\sqrt{x^2\pm a^2}\mp a^2\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|)+C
\]
P183 Q1 (3)
\[\int\frac1{1+x^3}\mathrm dx=\int\frac1{(x+1)(x^2-x+1)}\mathrm dx=\frac13\int\frac1{x+1}\mathrm dx+\frac13\int\frac{-x+2}{x^2-x+1}\mathrm dx\\
=\frac13\int\frac1{x+1}\mathrm dx-\frac16\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\mathrm dx+\frac12\int\frac1{x^2-x+1}\mathrm dx\\
=\frac13\int\frac1{x+1}\mathrm dx-\frac16\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\mathrm dx+\frac12\int\frac1{(x-\frac12)^2+\frac34}\mathrm dx\\
=\frac{\ln|x+1|}3-\frac{\ln(x^2-x+1)}6+\frac1{\sqrt3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}+C
\]
P183 Q1 (5)
\[\int\frac1{(x-1)(x+1)^2}\mathrm dx=\frac14\int\frac1{x-1}\mathrm dx-\frac14\int\frac1{x+1}\mathrm dx-\frac12\int\frac1{(x+1)^2}\mathrm dx=\frac14\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+\frac1{2(x+1)}+C
\]
P183 Q1 (6)
\[\int\frac{x-2}{(2x^2+2x+1)^2}\mathrm dx=4\int\frac{u-\frac52}{(4u^2+1)^2}\mathrm du=4\int\frac u{(4u^2+1)^2}\mathrm du-10\int\frac1{(4u^2+1)^2}\mathrm du\\
\int\frac u{(4u^2+1)^2}\mathrm du=-\frac1{8(4u^2+1)}+C\\
\int\frac1{(4u^2+1)^2}\mathrm du=\int\frac1{(\tan^2t+1)^2}\mathrm du=\int\frac{\sec^2t}{2\sec^4t}\mathrm dt=\frac12\int\cos^2t\mathrm dt=\frac14\int(1+\cos2t)\mathrm dt\\
=\frac t4+\frac{\sin 2t}8+C=\frac{\arctan2u}4+\frac u{2(1+4u^2)}+C\\
\Rightarrow4\int\frac u{(4u^2+1)^2}\mathrm du-10\int\frac1{(4u^2+1)^2}\mathrm du=\frac{-1-10u}{2(1+4u^2)}-\frac52\arctan(2u)+C\\
=-\frac{5x+3}{2(2x^2+2x+1)}-\frac52\arctan(2x+1)+C
\]
P183 Q2 (3)
\[\int\frac1{1+\tan x}\mathrm dx=\int\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}=\frac12\int1\mathrm dx+\frac12\int\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\mathrm dx=\frac x2+\frac{\ln|\cos x+\sin x|}2+C
\]
P183 Q2 (5)
Day 8
P131 Q2 (1)
\[\lim_{x\to0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{(1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6+o(x^3))(x-\frac{x^3}6+o(x^3))-(x+x^2)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{(x+x^2+\frac{x^3}3+o(x^3))-(x+x^2)}{x^3}=\frac13
\]
P131 Q2 (2)
\[\lim_{x\to+\infty}\left(x-x^2\ln\left(1+\frac1x\right)\right)=\lim_{x\to0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x-(x-\frac{x^2}2+o(x^2))}{x^2}=\frac12
\]
P131 Q2 (3)
\[\lim_{x\to0}\frac1x\left(\frac1x-\cot x\right)=\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^2\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{(x-\frac{x^3}6+o(x^3))-(x-\frac{x^3}{2}+o(x^3))}{x^3+o(x^3)}=\frac13
\]
P142 Q1 (1)
\[y=2x^3-3x^2-36x+25\Rightarrow y''=12x-6
\]
则凸性区间 \((\frac12,+\infty)\)，拐点 \((\frac12,\frac{13}2)\)
P142 Q1 (4)
\[y=\ln(x^2+1)\Rightarrow y'=\frac{2x}{x^2+1}\Rightarrow y''=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}
\]
则凸性区间 \((-1,1)\)，拐点 \((-1,\ln2),(1,\ln2)\)
P173 Q1 (2)
\[\int xe^{2x^2}\mathrm dx=\frac14\int 4xe^{2x^2}\mathrm dx=\frac14\int e^u\mathrm du=\frac{e^u}4+C=\frac{e^{2x^2}}4+C
\]
P173 Q1 (5)
\[\int\left(\frac1{\sqrt{3-x^2}}+\frac1{\sqrt{1-3x^2}}\right)\mathrm dx=\int\frac1{\sqrt{3-x^2}}\mathrm dx+\frac1{\sqrt3}\int\frac1{\sqrt{\frac13-x^2}}\mathrm dx=\arcsin\frac x{\sqrt3}+\frac{\arcsin\sqrt3x}{\sqrt3}+C
\]
P173 Q1 (7)
\[\int\sqrt{8-3x}\mathrm dx=-\frac13\int\sqrt u\mathrm du=-\frac12u^{\frac32}=-\frac12(8-3x)^{\frac32}
\]
P173 Q1 (10)
\[\int\csc^2(2x+\frac\pi4)\mathrm dx=\frac12\int\csc^2u\mathrm du=-\frac{\cot u}2+C=-\frac{\cot(2x+\frac\pi4)}2+C
\]
P173 Q1 (12)
\[\int\frac1{1+\sin x}\mathrm dx=\int\frac{1-\sin x}{\cos^2x}\mathrm dx=\int\sec^2x\mathrm dx-\int\sec x\tan x\mathrm dx=\tan x-\sec x+C
\]
P173 Q1 (15)
\[\int\frac x{4+x^4}\mathrm dx=\frac12\int\frac1{4+u^2}\mathrm du=\frac{\arctan\frac u2}4+C=\frac{\arctan\frac{x^2}2}4+C
\]
P173 Q1 (18)
\[\int\frac{x^3}{x^8-2}\mathrm dx=\frac14\int\frac1{u^2-2}\mathrm du=\frac1{8\sqrt2}\ln\left|\frac{u-\sqrt2}{u+\sqrt2}\right|+C=\frac1{8\sqrt2}\ln\left|\frac{x^4-\sqrt2}{x^4+\sqrt2}\right|+C
\]
P173 Q1 (26)
\[\int\frac1{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx=\int\frac1{a\sqrt{\tan^2t+1}}\mathrm dx=\int\frac1{a\sec t}\mathrm dx=\int\frac{a\sec^2t}{a\sec t}\mathrm dt=\int\sec t\mathrm dt=\ln|\sec t+\tan t|+C=\ln\left|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2+a^2}}a\right|+C=\ln|\sqrt{x^2+a^2}+x|+C
\]
P173 Q1 (36)
\[\int\frac1{x^4\sqrt{x^2-1}}\mathrm dx=\int\frac1{\sec^4t\tan t}\mathrm dx=\int\frac{\sec t\tan t}{\sec^4t\tan t}\mathrm dt=\int\cos^3t\mathrm dt=\int\cos t(1-\sin^2t)\mathrm dt=\int1-u^2\mathrm du\\
=u-\frac{u^3}3+C=\sin t-\frac{\sin^3t}3+C=\frac{\sqrt{x^2-1}}x-\frac{(x^2-1)^{\frac32}}{3x^3}+C=\frac{(2x^2+1)\sqrt{x^2-1}}{3x^3}+C
\]
Day 7
P124 Q5 (2)
\[\lim_{x\to\frac\pi6}\frac{1-2\sin x}{\cos3x}=\lim_{x\to\frac\pi6}\frac{-2\cos x}{-3\sin3x}=\frac{\sqrt3}{3}
\]
P124 Q5 (6)
\[\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{e^x-1}\right)=\lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{x(e^x-1)}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{(x+1)e^x-1}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{(x+2)e^x}=\frac12
\]
P124 Q5 (7)
\[y=(\tan x)^{\sin x}\Rightarrow\ln y=\sin x\ln\tan x\\
\ln\tan x=\ln(x+\frac{x^3}3+o(x^3))=\ln x+\ln(1+\frac{x^2}3+o(x^2))=\ln x+\frac{x^2}3+o(x^2)\\
\Rightarrow\ln y=(x+o(x))(\ln x+\frac{x^2}3+o(x^2))=x\ln x\\
\Rightarrow\lim_{x\to0}\ln y=0\Rightarrow\lim_{x\to0}y=1
\]
P124 Q5 (8)
\[t=x-1\Rightarrow\lim_{x\to1}x^{\frac1{1-x}}=\lim_{t\to0}(1+t)^{-\frac1t}=e^{-1}
\]
P124 Q5 (9)
\[t=x^2\Rightarrow\lim_{x\to0}(1+x^2)^{\frac1x}=\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac1t\cdot\sqrt t}=\lim_{t\to0}e^{\sqrt t}=1
\]
P124 Q5 (11)
\[\lim_{x\to0}\left(\frac1{x^2}-\frac1{\sin^2x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x-x^2}{x^2\sin^2x}=\lim_{x\to0}\frac{(\sin x-x)(\sin x+x)}{x^2\sin^2x}=\lim_{x\to0}\frac{(-\frac{x^3}6+o(x^3))(2x+o(x))}{x^4+o(x^4)}=-\frac13
\]
P124 Q7 (3)
\[\lim_{x\to0^+}x^{\sin x}=e^{\lim_{x\to0^+}\sin x\ln x}=e^{\lim_{x\to0^+}(x+o(x))\ln x}=e^0=1
\]
P124 Q7 (5)
\[\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln(1+x)^{1+x}}{x^2}-\frac1x\right)=\lim_{x\to0}\frac{(1+x)\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac1{1+x}}2=\frac12
\]
P124 Q7 (6)
\[\lim_{x\to0}\left(\cot x-\frac1x\right)=\lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{-x\sin x}{\sin x+x\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{-x}{1+\frac x{\sin x}\cdot\cos x}=\frac0{1+1}=0
\]
Day 6
P96 Q3 (1)
\[y'=\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}
\]
P96 Q3 (2)
\[y'=3(x^2-1)^2\cdot2x=6x(x^2-1)^2
\]
P96 Q3 (4)
\[y'=\frac1m-\frac m{x^2}+\frac1{\sqrt x}-\frac1{x^\frac32}
\]
P96 Q3 (17)
\[y'=e^{x+1}
\]
P96 Q3 (18)
\[y'=2^{\sin x}\ln2\cdot\cos x
\]
P96 Q3 (19)
\[\ln y=\sin x\cdot\ln x\\
\Rightarrow\frac{y'}y=\cos x\cdot\ln x+\frac{\sin x}x\\
\Rightarrow y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}x\right)
\]
P96 Q3 (21)
\[y'=-e^{-x}\sin2x+2e^{-x}\cos2x=e^{-x}(2\cos2x-\sin2x)
\]
P99 Q1 (1)
\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{4\sin^3t\cos t}{-4\cos^3t\sin t}=-\tan^2t=-3
\]
P99 Q1 (2)
\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{-2}{(1+t)^2}\cdot(1+t)^2=-2
\]
P103 Q5 (3)
\[y=\frac1x+\frac1{1-x}\\
\Rightarrow y'=-\frac1{x^2}+\frac1{(1-x)^2}=\frac{2x-1}{x^2(1-x)^2}
\]
P109 Q2 (2)
\[y'=\ln x+1-1=\ln x
\]
P109 Q2 (4)
\[y'=\frac{1-x^2+2x^2}{(1-x^2)^2}=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}
\]
P109 Q2 (6)
\[u=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow u'=-\frac x{\sqrt{1-x^2}}\\
\Rightarrow y'=\arcsin'u\cdot u'=-\frac x{|x|\sqrt{1-x^2}}
\]
Day 5
P78 Q8 (1)
\[\lim_{x\to\frac\pi4}(\pi-x)\tan x=(\pi-\frac\pi4)\tan\frac\pi4=\frac{3\pi}4
\]
P78 Q8 (2)
\[\lim_{x\to1^+}\frac{x\sqrt{1+2x}-\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt3-0}2=\frac{\sqrt3}2
\]
P78 Q9
若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，且满足 \(\exist x_1\in[a,b],~\mathrm{s.t.}~f(x_1)>0\) 且 \(\exist x_2\in[a,b],~\mathrm{s.t.}~f(x_2)<0\)，则根据根的存在定理，在 \([x_1,x_2]\) 或 \([x_2,x_1]\) 上必有至少一个 \(f(x_0)=0\)，与条件不符
P80 Q1 (1)
\[\lim_{x\to0}\frac{e^x\cos x+5}{1+x^2+\ln(1-x)}=\frac{1\cdot1+5}{1+0+0}=6
\]
P80 Q1 (4)
\[\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\sqrt\frac1x\cdot\sqrt{1+\sqrt\frac1x}}}{\sqrt{1+\sqrt\frac1x}}=\frac11=1
\]
P80 Q1 (5)
\[\lim_{x\to0}(1+\sin x)^{\cot x}=\lim_{x\to0}((1+\sin x)^{\frac1{\sin x}})^{\cos x}=e^1=e
\]
Day 4
P55 Q1 (2)
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x^3}{(\sin x)^2}=\lim_{x\to0}x\cdot\frac{\sin x^3}{x^3}\cdot\left(\frac{x}{\sin x}\right)^2=0
\]
P55 Q1 (4)
\[\lim_{x\to0}\frac{\tan x}x=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x\cos x}=\lim_{x\to0}\frac1{\cos x}=1
\]
P55 Q1 (6)
\[\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}x=\lim_{y\to0}\frac y{\tan y}=1
\]
P55 Q1 (8)
\[\lim_{x\to a}\frac{sin^2x-sin^2a}{x-a}=(sin^2x)'|_a=\sin2a
\]
P56 Q2 (1)
\[\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac2x\right)^{-x}=\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac1y\right)^{2y}=e^2
\]
P56 Q2 (3)
\[\lim_{x\to0}(1+\tan x)^{\cot x}=\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac1y\right)^y=e
\]
P56 Q2 (5)
\[\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x+2}{3x-1}\right)^{2x-1}=\lim_{y\to+\infty}\left(1+\frac1y\right)^{\frac23y-\frac13}=e^{\frac23}
\]
P63 Q5 (2)
\[\lim_{x\to0}\frac1{1+x}-(1-x)=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{1+x}=\lim_{x\to0}x^2\\
\Rightarrow\alpha=2
\]
P63 Q5 (3)
\[\lim_{x\to0}\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{\tan x+\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x}}=\lim_{x\to0}x\\
\Rightarrow\alpha=1
\]
Day 3
P49 Q1 (2)
\[\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\frac{\lim_{x\to0}x^2-1}{\lim_{x\to0}2x^2-x-1}=1
\]
P49 Q1 (4)
\[\lim_{x\to0}\frac{(x-1)^3+(1-3x)}{x^2+2x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x^3-3x^2}{2x^3+x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x-3}{2x+1}=\frac{\lim_{x\to0}x-3}{\lim_{x\to0}2x+1}=-3
\]
P49 Q1 (6)
\[\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt x-2}=\lim_{x\to4}\frac{2(x-4)(\sqrt x+2)}{(x-4)\sqrt{1+2x}+3}=\lim_{x\to4}\frac{2(\sqrt x+2)}{\sqrt{1+2x}+3}=\frac{\lim_{x\to4}2(\sqrt x+2)}{\lim_{x\to4}\sqrt{1+2x}+3}=\frac43
\]
P49 Q1 (8)
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{(3x+6)^{70}(8x-5)^{20}}{(5x-1)^{90}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(3x)^{70}(8x)^{20}}{(5x)^{90}}=\frac{3^{70}8^{20}}{5^{90}}
\]
P50 Q8 (2)
\[\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}x\frac1{1+x^n}=\lim_{x\to0^+}\frac1{1+x^n}=\frac1{\lim_{x\to0^+}1+x^n}=1
\]
P50 Q8 (4)
\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\lim_{y\to1}\frac{y-1}{y^n-1}=\lim_{y\to1}\frac{y-1}{(y-1)\sum_{i=0}^{n-1}y^i}=\lim_{y\to1}\frac1{\sum_{i=0}^{n-1}y^i}=\frac1{\lim_{y\to1}\sum_{i=0}^{n-1}y^i}=\frac1n
\]
Day 2
P31 Q1 (1)
\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+3n^2+1}{4n^3+2n+3}=\frac14+\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{4n^3+2n+3}=\frac14\\
\]
P31 Q1 (3)
\[\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}\frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n(1+(-\frac23)^n)}{3^{n+1}(1+(-\frac23)^{n+1})}\\
&=\frac13\lim_{n\to\infty}\frac{1+(-\frac23)^n}{1+(-\frac23)^{n+1}}\\
&=\frac13\frac{\lim_{n\to\infty}1+(-\frac23)^n}{\lim_{n\to\infty}1+(-\frac23)^{n+1}}\\
&=\frac13
\end{aligned}
\]
P31 Q1 (5)
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{10}i^{1/n}=\sum_{i=1}^{10}\lim_{n\to\infty}i^{1/n}=\sum_{i=1}^{10}i^{\lim_{n\to\infty}1/n}=\sum_{i=1}^{10}i^0=10
\]
P32 Q4 (2)
\[\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n2^{1/2^i}=\lim_{n\to\infty}2^{\sum_{i=1}^n1/2^i}=2^{\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n1/2^i}=2^1=2
\]
P32 Q4 (4)
\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1-\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n-1}n}=\frac{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n-1}}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n}=\frac11=1
\]
P32 Q4 (6)
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2)^{-1/2}\le\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2+i)^{-1/2}\le\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2+n)^{-1/2}\\
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2)^{-1/2}=\lim_{n\to\infty}n\cdot n^{-1}=1\\
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2+n)^{-1/2}=\lim_{n\to\infty}n^{1/2}\cdot(n+1)^{-1/2}=\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^{-1/2}=1\\
\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2+i)^{-1/2}=1
\]
P37 Q1 (3)
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+1/n)^n}{1+1/n}=\frac{\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n}{\lim_{n\to\infty}1+1/n}=\frac e1=e
\]
P37 Q1 (4)
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{2n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n/2}=\sqrt{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n}=\sqrt e
\]
P37 Q1 （5）
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n^2}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{\sqrt n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n/\sqrt n}=\lim_{n\to\infty}e^{1/\sqrt n}=1
\]
Day 1
P4 Q3
设 \(a,b\in \mathbb{R}\)，证明对任何正数 \(\epsilon\)，有 \(|a-b|<\epsilon\)，则 \(a=b\)。
\(\forall\epsilon>0,|a-b|<\epsilon\)，则 \(|a-b|\) 是 \((0,+\infty)\) 的下界
又 \((0,+\infty)\) 的下确界为 \(0\)，则 \(|a-b|\le0\)，即 \(|a-b|=0\)
由绝对值的性质得当且仅当 \(a-b=0\)，即 \(a=b\) 时 \(|a-b|=0\)
P8 Q7
设 \(A,B\) 皆为非空有界数集，定义数集
\[A+B=\{z|z=x+y,x\in A,y\in B\} \]证明：（1）\(\sup(A+B)=\sup A+\sup B\)；（2）\(\inf(A+B)=\inf A+\inf B\)
令 \(x_1=\sup A,y_1=\sup B\)
有 \(\forall\epsilon>0,\exist x\in A,~\mathrm{s.t.}~x>x_1-\epsilon\)
对于同一个 \(\epsilon>0,\exist y\in B,~\mathrm{s.t.}~y>y_1-\epsilon\)
得 \(\forall\epsilon>0,\exist x+y\in A+B,~\mathrm{s.t.}~x+y>x_1+y_1-\epsilon\)
即 \(x_1+y_1\) 是 \(A+B\) 的上确界，即 \(\sup(A+B)=\sup A+\sup B\)
\(\inf(A+B)=\inf A+\inf B\) 同理。
P18 Q8 (1)
设 \(f,g\) 为定义在 \(D\) 上的有界函数，满足
\[f(x)\le g(x),x\in D \]证明：\(\sup\limits_{x\in D}f(x)\le\sup\limits_{x\in D} g(x)\)
由上确界定义得 \(\forall x\in D,~f(x)\le g(x)\le\sup\limits_{x\in D}g(x)\)
则 \(\sup\limits_{x\in D}g(x)\) 是 \(f(x)\) 的上界
上确界是最小的上界，则 \(\sup\limits_{x\in D}f(x)\le\sup\limits_{x\in D} g(x)\)
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