数分作业

Day 6

P96 Q3 (1)

\[y'=\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}} \]

P96 Q3 (2)

\[y'=3(x^2-1)^2\cdot2x=6x(x^2-1)^2 \]

P96 Q3 (4)

\[y'=\frac1m-\frac m{x^2}+\frac1{\sqrt x}-\frac1{x^\frac32} \]

P96 Q3 (17)

\[y'=e^{x+1} \]

P96 Q3 (18)

\[y'=2^{\sin x}\ln2\cdot\cos x \]

P96 Q3 (19)

\[\ln y=\sin x\cdot\ln x\\ \Rightarrow\frac{y'}y=\cos x\cdot\ln x+\frac{\sin x}x\\ \Rightarrow y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}x\right) \]

P96 Q3 (21)

\[y'=-e^{-x}\sin2x+2e^{-x}\cos2x=e^{-x}(2\cos2x-\sin2x) \]

P99 Q1 (1)

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{4\sin^3t\cos t}{-4\cos^3t\sin t}=-\tan^2t=-3 \]

P99 Q1 (2)

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{-2}{(1+t)^2}\cdot(1+t)^2=-2 \]

P103 Q5 (3)

\[y=\frac1x+\frac1{1-x}\\ \Rightarrow y'=-\frac1{x^2}+\frac1{(1-x)^2}=\frac{2x-1}{x^2(1-x)^2} \]

P109 Q2 (2)

\[y'=\ln x+1-1=\ln x \]

P109 Q2 (4)

\[y'=\frac{1-x^2+2x^2}{(1-x^2)^2}=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2} \]

P109 Q2 (6)

\[u=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow u'=-\frac x{\sqrt{1-x^2}}\\ \Rightarrow y'=\arcsin'u\cdot u'=-\frac x{|x|\sqrt{1-x^2}} \]

Day 5

P78 Q8 (1)

\[\lim_{x\to\frac\pi4}(\pi-x)\tan x=(\pi-\frac\pi4)\tan\frac\pi4=\frac{3\pi}4 \]

P78 Q8 (2)

\[\lim_{x\to1^+}\frac{x\sqrt{1+2x}-\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt3-0}2=\frac{\sqrt3}2 \]

P78 Q9

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，且满足 \(\exist x_1\in[a,b],~\mathrm{s.t.}~f(x_1)>0\) 且 \(\exist x_2\in[a,b],~\mathrm{s.t.}~f(x_2)<0\)，则根据根的存在定理，在 \([x_1,x_2]\) 或 \([x_2,x_1]\) 上必有至少一个 \(f(x_0)=0\)，与条件不符

P80 Q1 (1)

\[\lim_{x\to0}\frac{e^x\cos x+5}{1+x^2+\ln(1-x)}=\frac{1\cdot1+5}{1+0+0}=6 \]

P80 Q1 (4)

\[\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\sqrt\frac1x\cdot\sqrt{1+\sqrt\frac1x}}}{\sqrt{1+\sqrt\frac1x}}=\frac11=1 \]

P80 Q1 (5)

\[\lim_{x\to0}(1+\sin x)^{\cot x}=\lim_{x\to0}((1+\sin x)^{\frac1{\sin x}})^{\cos x}=e^1=e \]

Day 4

P55 Q1 (2)

\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x^3}{(\sin x)^2}=\lim_{x\to0}x\cdot\frac{\sin x^3}{x^3}\cdot\left(\frac{x}{\sin x}\right)^2=0 \]

P55 Q1 (4)

\[\lim_{x\to0}\frac{\tan x}x=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x\cos x}=\lim_{x\to0}\frac1{\cos x}=1 \]

P55 Q1 (6)

\[\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}x=\lim_{y\to0}\frac y{\tan y}=1 \]

P55 Q1 (8)

\[\lim_{x\to a}\frac{sin^2x-sin^2a}{x-a}=(sin^2x)'|_a=\sin2a \]

P56 Q2 (1)

\[\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac2x\right)^{-x}=\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac1y\right)^{2y}=e^2 \]

P56 Q2 (3)

\[\lim_{x\to0}(1+\tan x)^{\cot x}=\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac1y\right)^y=e \]

P56 Q2 (5)

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x+2}{3x-1}\right)^{2x-1}=\lim_{y\to+\infty}\left(1+\frac1y\right)^{\frac23y-\frac13}=e^{\frac23} \]

P63 Q5 (2)

\[\lim_{x\to0}\frac1{1+x}-(1-x)=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{1+x}=\lim_{x\to0}x^2\\ \Rightarrow\alpha=2 \]

P63 Q5 (3)

\[\lim_{x\to0}\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{\tan x+\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x}}=\lim_{x\to0}x\\ \Rightarrow\alpha=1 \]

Day 3

P49 Q1 (2)

\[\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\frac{\lim_{x\to0}x^2-1}{\lim_{x\to0}2x^2-x-1}=1 \]

P49 Q1 (4)

\[\lim_{x\to0}\frac{(x-1)^3+(1-3x)}{x^2+2x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x^3-3x^2}{2x^3+x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x-3}{2x+1}=\frac{\lim_{x\to0}x-3}{\lim_{x\to0}2x+1}=-3 \]

P49 Q1 (6)

\[\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt x-2}=\lim_{x\to4}\frac{2(x-4)(\sqrt x+2)}{(x-4)\sqrt{1+2x}+3}=\lim_{x\to4}\frac{2(\sqrt x+2)}{\sqrt{1+2x}+3}=\frac{\lim_{x\to4}2(\sqrt x+2)}{\lim_{x\to4}\sqrt{1+2x}+3}=\frac43 \]

P49 Q1 (8)

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{(3x+6)^{70}(8x-5)^{20}}{(5x-1)^{90}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(3x)^{70}(8x)^{20}}{(5x)^{90}}=\frac{3^{70}8^{20}}{5^{90}} \]

P50 Q8 (2)

\[\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}x\frac1{1+x^n}=\lim_{x\to0^+}\frac1{1+x^n}=\frac1{\lim_{x\to0^+}1+x^n}=1 \]

P50 Q8 (4)

\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\lim_{y\to1}\frac{y-1}{y^n-1}=\lim_{y\to1}\frac{y-1}{(y-1)\sum_{i=0}^{n-1}y^i}=\lim_{y\to1}\frac1{\sum_{i=0}^{n-1}y^i}=\frac1{\lim_{y\to1}\sum_{i=0}^{n-1}y^i}=\frac1n \]

Day 2

P31 Q1 (1)

\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+3n^2+1}{4n^3+2n+3}=\frac14+\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{4n^3+2n+3}=\frac14\\ \]

P31 Q1 (3)

\[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n(1+(-\frac23)^n)}{3^{n+1}(1+(-\frac23)^{n+1})}\\ &=\frac13\lim_{n\to\infty}\frac{1+(-\frac23)^n}{1+(-\frac23)^{n+1}}\\ &=\frac13\frac{\lim_{n\to\infty}1+(-\frac23)^n}{\lim_{n\to\infty}1+(-\frac23)^{n+1}}\\ &=\frac13 \end{aligned} \]

P31 Q1 (5)

\[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{10}i^{1/n}=\sum_{i=1}^{10}\lim_{n\to\infty}i^{1/n}=\sum_{i=1}^{10}i^{\lim_{n\to\infty}1/n}=\sum_{i=1}^{10}i^0=10 \]

P32 Q4 (2)

\[\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n2^{1/2^i}=\lim_{n\to\infty}2^{\sum_{i=1}^n1/2^i}=2^{\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n1/2^i}=2^1=2 \]

P32 Q4 (4)

\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1-\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n-1}n}=\frac{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n-1}}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n}=\frac11=1 \]

P32 Q4 (6)

\[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2)^{-1/2}\le\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2+i)^{-1/2}\le\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2+n)^{-1/2}\\ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2)^{-1/2}=\lim_{n\to\infty}n\cdot n^{-1}=1\\ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2+n)^{-1/2}=\lim_{n\to\infty}n^{1/2}\cdot(n+1)^{-1/2}=\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^{-1/2}=1\\ \Rightarrow\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n(n^2+i)^{-1/2}=1 \]

P37 Q1 (3)

\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+1/n)^n}{1+1/n}=\frac{\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n}{\lim_{n\to\infty}1+1/n}=\frac e1=e \]

P37 Q1 (4)

\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{2n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n/2}=\sqrt{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n}=\sqrt e \]

P37 Q1 （5）

\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n^2}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{\sqrt n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n/\sqrt n}=\lim_{n\to\infty}e^{1/\sqrt n}=1 \]

Day 1

P4 Q3

设 \(a,b\in \mathbb{R}\)，证明对任何正数 \(\epsilon\)，有 \(|a-b|<\epsilon\)，则 \(a=b\)。

\(\forall\epsilon>0,|a-b|<\epsilon\)，则 \(|a-b|\) 是 \((0,+\infty)\) 的下界

又 \((0,+\infty)\) 的下确界为 \(0\)，则 \(|a-b|\le0\)，即 \(|a-b|=0\)

由绝对值的性质得当且仅当 \(a-b=0\)，即 \(a=b\) 时 \(|a-b|=0\)

P8 Q7

设 \(A,B\) 皆为非空有界数集，定义数集

\[A+B=\{z|z=x+y,x\in A,y\in B\} \]

证明：（1）\(\sup(A+B)=\sup A+\sup B\)；（2）\(\inf(A+B)=\inf A+\inf B\)

令 \(x_1=\sup A,y_1=\sup B\)

有 \(\forall\epsilon>0,\exist x\in A,~\mathrm{s.t.}~x>x_1-\epsilon\)

对于同一个 \(\epsilon>0,\exist y\in B,~\mathrm{s.t.}~y>y_1-\epsilon\)

得 \(\forall\epsilon>0,\exist x+y\in A+B,~\mathrm{s.t.}~x+y>x_1+y_1-\epsilon\)

即 \(x_1+y_1\) 是 \(A+B\) 的上确界，即 \(\sup(A+B)=\sup A+\sup B\)

\(\inf(A+B)=\inf A+\inf B\) 同理。

P18 Q8 (1)

设 \(f,g\) 为定义在 \(D\) 上的有界函数，满足

\[f(x)\le g(x),x\in D \]

证明：\(\sup\limits_{x\in D}f(x)\le\sup\limits_{x\in D} g(x)\)

由上确界定义得 \(\forall x\in D,~f(x)\le g(x)\le\sup\limits_{x\in D}g(x)\)

则 \(\sup\limits_{x\in D}g(x)\) 是 \(f(x)\) 的上界

上确界是最小的上界，则 \(\sup\limits_{x\in D}f(x)\le\sup\limits_{x\in D} g(x)\)