ST表

ST表

ST算法可以在 \(O(N \log N)\) 时间的预处理后，以 \(O(1)\) 的时间复杂度在线回答区间最值问题。

状态转移

一个序列的子区间个数显然有 \(N^2\) 个，根据倍增思想，我们可以在这个空间里选择一些 \(2\) 的整数次幂的位置作为代表值。

状态：\(f[i][j]\) ：数组 \(a\) 在子区间 \([i, i+2^j-1]\) 中的最大值

初值：显然 \(f[i][0] = a[i]\)，即 \(a\) 在子区间 \([i, i]\) 中的最大值

状态转移：\(f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])\)

Example:

假设现有一数组 \(a = \{ 5,3,7,9,6,4,1,2\}\)，可以得到如下表格

\(i\)	\(a\)	\(ST[i][0]\)	\(ST[i][1]\)	\(ST[i][2]\)	\(ST[i][3]\)
\(1\)	\(5\)	\(5\)	\(5\)	\(9\)	\(9\)
\(2\)	\(3\)	\(3\)	\(7\)	\(9\)	\
\(3\)	\(7\)	\(7\)	\(9\)	\(9\)	\
\(4\)	\(9\)	\(9\)	\(9\)	\(9\)	\
\(5\)	\(6\)	\(6\)	\(6\)	\(6\)	\
\(6\)	\(4\)	\(4\)	\(4\)	\	\
\(7\)	\(1\)	\(1\)	\(2\)	\	\
\(8\)	\(2\)	\(2\)	\	\	\

若想求出 \(ST[1][2]\) 的值，即区间 \([1,4]\) 中的最值

我们可以取 \(ST[1][1]\) 和 \(ST[3][1]\) 的最大值作为 \(ST[1][2]\) 的值

因为 \(ST[1][1]\) 代表区间 \([1,2]\) 中的最大值，\(ST[3][1]\) 代表区间 \([3,4]\) 中的最大值

取两个数的最大值，即为区间 \([1,4]\) 中的最值

由此可得状态转移方程：\(f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])\)

照应上述例子，\(3 = 1 + 2^{2-1}\)，恰好满足。

初始化

根据状态转移方程，可得如下代码：

void ST_pre()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ST[i][0]=a[i];
    int t=log2(n)+1;
    for(int j=1;j<=t;j++)
        for(int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++)
	    ST[i][j]=max(ST[i][j-1],ST[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

查询

当询问区间 \([l,r]\) 中的最值时，令区间长度 \(x = r-l+1\)

我们可以先计算出一个\(k\)，满足 \(2^k \leq x \leq 2^{k+1}\)

即将区间分为 比 \(x\) 小的 \(2\) 的最大整数幂 和 剩下的部分

再将剩下的部分进行分解，直到不能再分为止

然后依次返回每个区间的最值，取最大值即可

int ST_query(int l,int r)
{
    int k=log2(r-l+1);
    return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}