[您有新的未分配科技点][BZOJ3545&BZOJ3551]克鲁斯卡尔重构树

这次我们来搞一个很新奇的知识点:克鲁斯卡尔重构树。它也是一种图,是克鲁斯卡尔算法求最小生成树的升级版首先看下面一个问题:BZOJ3545 Peaks。

在Bytemountains有N座山峰,每座山峰有他的高度h_i。有些山峰之间有双向道路相连,共M条路径,每条路径有一个困难值,这个值越大表示越难走。

现在有Q组询问,每组询问询问从点v开始只经过困难值小于等于x的路径所能到达的山峰中第k高的山峰,如果无解输出-1。N<=1e5,M,Q<=5*1e5

上面这个题没有要求在线,因此我们可以离线构造最小生成树,然后当小于等于一个询问的困难值的所有边都加入后,就可以查询当前的询问点。

这种操作只需要主席树上树+启发式合并就可以解决了。(参考资料:主席树上树http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7275164.html,启发式合并http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7275793.html

但是如果强制在线呢?BZOJ3551 Peaks加强版,在上一题基础上强制在线。

可以用来解决一系列“查询从某个点出发经过边权不超过val的边所能到达的节点”的问题,可以和其他数据结构(比如主席树)套用来维护更加复杂的询问。

克鲁斯卡尔重构树的核心思想是,当添加最小生成树中的边的时候,不在两个点间直接加边,而是新建节点,让边的两个端点所在的联通块的代表点分别作为它的左右儿子节点,然后这个新建的点,就成为这整个连通块的代表点,点权为连边的值(最开始n个叶子节点点权为0)。比如看下面这张图:首先连接(1,2),新建一个点5。再连接(3,4),新建一个点6。然后连接(1,3),连接它们各自联通块的代表点(5,6),再新建一个点7。

这样得到的树有一个很优雅的性质:一个点的所有子树节点的权值都小于等于它的权值,并且从它开始逐渐向子节点移动,权值是单调不上升的。这个性质是显然的,因为我们在构造树的时候是从小到大插入的边,因此父亲节点的权值一定大于等于子节点的值。

查询时,首先可以在树上倍增得到当前查询点所能够到达的最远的祖先点,那么从这个点能够到达的符合边权限制条件的连通块中的节点,就是祖先点的子树中所有的叶节点。

然后我们按dfs序维护一个主席树上树就可以解决了。

代码见下:

 1 #include <cstring>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <ctime>
 5 using namespace std;
 6 const int N=100100;
 7 int h[N*2],val[N*2],n,tot,num,cnt,stack[N],e,adj[N*2];
 8 int f[N*2][20],bin[25],fa[N*2],l[N*2],r[N*2];
 9 struct edge{int qi,zhong,val;}intn[N*5];
10 struct link{int zhong,next;}s[N*2];
11 inline void mission1(int rt){for(int i=1;bin[i]<=n;i++)f[rt][i]=f[f[rt][i-1]][i-1];}
12 inline void add(int qi,int zhong){s[++e].zhong=zhong;s[e].next=adj[qi];adj[qi]=e;}
13 inline bool mt(const edge &a,const edge &b){return a.val<b.val;}
14 int find(int a){return (fa[a]==a)?a:fa[a]=find(fa[a]);}
15 struct node
16 {
17     int cnt;node *ch[2];
18     node(){cnt=0;ch[0]=ch[1]=NULL;}
19     inline void update(){cnt=ch[0]->cnt+ch[1]->cnt;}
20 }*null=new node(),*root[2*N];
21 inline node* newnode(){node *o=new node();o->ch[0]=o->ch[1]=null;return o;}
22 void insert(node *&o,node *old,int l,int r,int pos)
23 {
24     o->cnt=old->cnt+1;
25     if(l==r)return;
26     int mi=(l+r)>>1;
27     if(pos<=mi)o->ch[1]=old->ch[1],o->ch[0]=newnode(),insert(o->ch[0],old->ch[0],l,mi,pos);
28     else o->ch[0]=old->ch[0],o->ch[1]=newnode(),insert(o->ch[1],old->ch[1],mi+1,r,pos);
29     o->update();
30 }
31 inline int query(int a,int x,int k)
32 {
33     int le=1,ri=tot;
34     for(int j=18;~j;j--)
35      if(f[a][j]&&val[f[a][j]]<=x)a=f[a][j];
36     node *a1=root[r[a]],*a2=root[l[a]-1];
37     if(a1->cnt-a2->cnt<k)return -1;
38     while(le<ri)
39     {
40         int tmp=a1->ch[1]->cnt-a2->ch[1]->cnt,mi=(le+ri)>>1;
41         if(tmp>=k)a1=a1->ch[1],a2=a2->ch[1],le=mi+1;
42         else a1=a1->ch[0],a2=a2->ch[0],k-=tmp,ri=mi;
43     }
44     return stack[ri];
45 }
46 void dfs(int rt)
47 {
48     mission1(rt);l[rt]=++num;
49     if(rt<=n)insert(root[num],root[num-1],1,tot,h[rt]);
50     else root[num]=root[num-1];
51     for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next)dfs(s[i].zhong);
52     r[rt]=num;
53 }
54 int main()
55 {
56     int m,q,ans=0,v,x,k;scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
57     bin[0]=1;for(int i=1;i<=22;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1;
58     null->ch[0]=null->ch[1]=null;
59     for(int i=1;i<=n*2;i++)fa[i]=i;
60     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&h[i]),stack[i]=h[i];
61     for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&intn[i].qi,&intn[i].zhong,&intn[i].val);
62     sort(stack+1,stack+n+1);
63     tot=unique(stack+1,stack+n+1)-stack-1;
64     for(int i=1;i<=n;i++)h[i]=lower_bound(stack+1,stack+tot+1,h[i])-stack;
65     sort(intn+1,intn+m+1,mt);cnt=n;
66     for(int i=1;i<=m;i++)
67     {
68         int u=find(intn[i].qi),v=find(intn[i].zhong);
69         if(u!=v)
70         {
71             val[++cnt]=intn[i].val,fa[u]=fa[v]=cnt;
72             add(cnt,u),add(cnt,v),f[u][0]=f[v][0]=cnt;
73             if(cnt-n==n-1)break;
74         }
75     }
76     for(int i=0;i<=cnt;i++)root[i]=newnode();
77     for(int i=1;i<=cnt;i++)if(!l[i])dfs(find(i));
78     while(q--)
79     {
80         scanf("%d%d%d",&v,&x,&k);
81         if(ans!=-1)v^=ans,x^=ans,k^=ans;/*去掉这句强制在线可以ACbzoj3545*/
82         printf("%d\n",ans=query(v,x,k));
83     }
84 }

克鲁斯卡尔重构树是个比较小众的知识点,但在处理对口的操作时十分强大。下次你再看到类似询问的时候,不妨想一想克鲁斯卡尔重构树,也许就会柳暗花明又一村:)

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posted @ 2017-08-02 20:11  LadyLex  阅读(2230)  评论(1编辑  收藏  举报