向量和矩阵求导公式总结

向量和矩阵求导

先说规律

先说结论，从标量、向量、矩阵他们之间可以互相求导，排列组合共有九种（3x3），即标量对标量求导、标量对向量求导、标量对矩阵求导；向量对标量求导、向量对向量求导、向量对矩阵求导；矩阵对标量求导、矩阵对向量求导，矩阵对矩阵求导。这些求导也不是什么高深的理论，也就是多元函数的偏导数的组合而已，只是应用到不同场景有不同意义。

我们需要掌握的是这9种求导后，结果的形状，也就是求导后张量的形状。下面给出一张图，列出了所有情况。

如图所示，横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量，他们的排列组合有3x3共9种。

先说规律：求导的分母形状不变，分子的形状编程倒数，最后形状按照分子加分母的形状拼接，将形状为1的部分舍弃。举个例子，矩阵 \(Y_{m,l}\) 对向量\(x_{n,1}\)求导，分母形状不变为\((m,l)\)，分子的形状变为倒数即\((1,n)\)，然后拼接为\((m,l,1,n)\)，舍弃1最终结果为\((m,l,n)\)。此方法叫做分子布局符号可以推广到更高维度，其实也就是一种计算方法，没有那么高深。

常见的求导（深度学习中）

1. 标量对标量求导

这种我们中学就学过的，一元函数求导。这里不在赘述。

2. 标量对向量求导

标量对向量求导，结果为向量。

这是机器学习里面最常见的，我们损失函数一般为标量，损失函数的输入为向量。说白了就是多元函数，

\[y = f(x_1,x_2,x_3) \]

这里的三个自变量组成向量，就成了标量对向量的求导。下面举个具体的例子：

设标量为\(y_{(1,)}\)，向量为\(x_{(3,1)}\)，根据上面的分子布局符号规则结果形状为\((1,3)\)，写成公式为

\[\frac{\partial y}{\partial x} = [\frac{\partial y}{\partial x_1}, \frac{\partial y}{\partial x_2}, \frac{\partial y}{\partial x_2}] \]

这样我们就理解了，所有的向量和矩阵之间的求导，最终都转化为逐个因变量分量与自变量分量的偏导数，然后再按照一定规律组合成多维张量。

常见的标量对向量求导

1. 向量内积求导

   \[令\space y = || x ||^{2} = <x,x> \space = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \\ 则 \space \frac{\partial y}{\partial x} = [2x_1,2x_2,2x_3] = 2x^{T} \\ \]

2. 向量之和求导

   \[令\space y = sum(x)=x_1+x_2+x_3 \\ 则\space \frac{\partial y}{\partial x} = [1,1,1] \]

3. 向量对向量求导

向量对向量求导，结果为矩阵。

一般形式，设自变量为\(y_{(2,1)}\)，因变量为\(x_{(3,1)}\)，则根据分子布局符号规则，结果形状为\((2,3)\)。

\[设\space y = \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \end{matrix} \right] \\ \\ 设\space x = \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{matrix} \right] \]

则向量y对向量x求导为

\[\frac{\partial y}{\partial x} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \frac{\partial y_1}{\partial x_3} \\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \frac{\partial y_2}{\partial x_3} \\ \end{matrix} \right] \]

常见向量对向量求导

1. 列向量对列向量求导

   \[令\space y_{(2,1)} = A_{(2,3)}x_{(3,1)} = \left[ \begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} y_1\\ y_2 \end{matrix} \right] \\ 则\space \frac{\partial y}{\partial x} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} &\frac{\partial y_1}{\partial x_3} \\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} &\frac{\partial y_2}{\partial x_3} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{matrix} \right] = A \\ 总结： 令\space y = Ax， 则\space \frac{\partial y}{\partial x} = A，其中，x \in R^{n}，y \in R^{m}，\frac{\partial y}{\partial x} \in R^{m} \]

2. 横向量对列向量求导

   \[令\space y = x^{T}A， 则\space \frac{\partial y}{\partial x} = A^T，其中，x \in R^{n}，y \in R^{m}，\frac{\partial y}{\partial x} \in R^{m,n} \]

参考链接

1. 李沐男神的slides。
2. 机器学习的数学，雷明。