2022 杭电多校 第三场 A - Equipment Upgrade

题意

一把武器要升级到 \(n\), 每次尝试升级要花费 \(c_i\), 有 \(P_i\) 的概率成功升级到 \(i + 1\) 级, 失败会降级, 降 \(j\) 级的概率如下

\[\left(1-p_i\right)\frac{w_j}{\sum_{k=1}^i w_k} \]

现给出 \(c_i\), \(P_i\)(以百分制形式给出), \(w_i\), 保证 \(P_0 = 100\)

思路

记 \(f_i\) 表示从 \(0\) 升到 \(i\) 级的概率, 则有

\[f_{i+1} = f_i + c_i + \sum_{j=1}^i\left(1-p_i\right)\frac{w_j}{\sum_{k=1}^i w_k}(f_{i+1} - f{i-j}) \]

其中, \((f_{i+1} - f{i-j})\) 表示从 \(i - j\) 级升级到 \(i + 1\) 级的期望花费, 这是该公式的精妙之处, 剩下的用分治 NTT 卷一下就行了, 注意只需计算 \([l,mid)\) 对 \([mid, r)\) 的贡献即可

代码

void sol() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> P(n + 1), c(n + 1), w(n + 1), Q(n + 1), R(n + 1);

    const int inv100 = Poly::power(100, MOD - 2);
    // 以百分制形式给出

    for(int i=0;i<n;++i) {
        std::cin >> P[i] >> c[i];
        P[i] = mul(P[i], inv100);
    }
    for(int i=1;i<n;++i) {
        std::cin >> w[i];
        Q[i] = add(Q[i - 1], w[i]);
    }
    for(int i=1;i<n;++i) {
        Q[i] = mul(Poly::power(Q[i], MOD - 2), add(1, MOD - P[i]));
    }
    for(int i=0;i<n;++i) {
        R[i] = Poly::power(P[i], MOD - 2);
    }
    poly f(n + 2);
    
    std::function<void(int,int)> CDQ = [&](int l,int r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(r - l == 1) {
            int i = l;
            f[i + 1] = add(f[i + 1], mul(R[i], add(f[i], c[i])));
            return;
        }
        CDQ(l, mid);

        poly g(f.begin() + l, f.begin() + mid);
        poly h(w.begin(), w.begin() + r - l);
        g = Poly::mul(g, h);
        int m = (int)g.size();
        for(int I=mid-l,i=l+I;I<m&&i<r;++I,++i) {
            f[i + 1] = add(f[i + 1], MOD - mul(mul(R[i], Q[i]), g[I]));
        }

        CDQ(mid, r);
    };
    CDQ(0,n+1);

    std::cout << f[n] << '\n';
}