Codeforces 1146H. Satanic Panic（极角排序+DP）

Codeforces 1146H. Satanic Panic

题目大意

• 给出平面内的$N$个点，求多少种方案能选择五个点构成一个“五角星”。这里的“五角星”不一定要每条边相同，但要保证该线段之间该相交的地方要相交（脑补一下正常五角星的形状）。
• $N\le 300$

题解

• 首先可以想到转换一下题意，要求的是五角星，不太好统计，不妨可以把每个五角星对应成五个点顺次连接形成的凸包，也很显然每个五个点的凸包和五角星都是一一对应的，于是我们可以求这样的凸包数量。
• 考虑到凸包每条边的极角是依次递增的，所以不妨先把边连出来，一共$N(N-1)$条边（顶点相同方向不同也算不同），接着按照它们对应的向量的极角进行排序，用DP求方案数。
• 设$f_{i,j,k}$表示以$i$为起点，凸包第$k$个点是$j$的方案数，显然有转移
• $$f_{i,i,0}=1$$
• $$f_{i,j,k}=\sum _{(j^{\prime },j)\in E}{f}_{i,j^{\prime },k-1}$$
• 由于需要保证加入的每条边极角是递增的，所以要先枚举边再转移。

代码

#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 310
#define ld long double
#define ll long long
struct node{
	int x, y;
	ld d;
}a[N], e[N * N];
ll f[N][N][6];
int cmp(node x, node y) {
	return x.d < y.d;
}
int main() {
	int n, i, j, l;
	scanf("%d", &n);
	for(i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].y);
	}
	int tot = 0;
	for(i = 1; i <= n; i++) 
		for(j = 1; j <= n; j++) if(i != j) {
			e[++tot].x = i, e[tot].y = j;
			e[tot].d = atan2(a[j].y - a[i].y, a[j].x - a[i].x);
		}
	sort(e + 1, e + tot + 1, cmp);
	for(i = 1; i <= n; i++) f[i][i][0] = 1;
	for(i = 1; i <= tot; i++) {
		for(j = 1; j <= n; j++) {
			for(l = 0; l < 5; l++) {
				f[j][e[i].y][l + 1] += f[j][e[i].x][l];
			}
		}
	}
	ll ans = 0;
	for(i = 1; i <= n; i++) ans += f[i][i][5];
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}