『题解』CodeForces CF1527A And Then There Were K

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题目大意

给定一个正整数 \(n\)，求出一个最大的 \(k\)，满足 \(n\&(n-1)\&(n-2)\&...\&(k)=0\)。

思路

先来手算一下答案是啥。

以 \(n=15\) 为例，\(15\) 的二进制为 \(1111\)。

进行一下操作：

• 1111&(1111-\(1\))=1110；
• 1110&(1111-\(2\))=1100；
• 1100&(1111-\(3\))=1100；
• 1100&(1111-\(4\))=1000；
• 1000&(1111-\(5\))=1000；
• 1000&(1111-\(6\))=1000；
• 1000&(1111-\(7\))=1000；
• 1000&(1111-\(8\))=0000；

到 \(k=7\) 时圆满结束。

可以推断出，从 \(k\) 到 \(n\) 的二进制中，第一位永远不是 \(0\)。等到 \(k-1\) 时，才会出现第一位是 \(0\) 的情况。那么最终的 \(k\) 的二进制位数等于 \(n\) 的二进制位数减一，那么 \(\lfloor \log_2n \rfloor\) 就是 \(k\) 的位数，那么 \(2^{\lfloor \log_2n \rfloor}\) 就是最小的 \(n\) 的位数的数，它减一就是答案 \(k\) 了。

最终答案为：\(2^{\lfloor \log_2n \rfloor}-1\)，即 (1<<(int)log2(n))-1。

代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int t,n;

int main(){
    cin >> t;
    while(t--){
        cin >> n;
        cout << (1<<(int)log2(n))-1 << endl; // 直接套
    }
    return 0;
}