『学习笔记』数位 dp(todo)

对于与大整数数位有关的问题，可以考虑使用数位 dp 解决，将大整数看作一个由 \(0 \sim 9\) 构成的整数序列来 dp。

P2657 [SCOI2009] windy 数

不含前导零且相邻两个数字之差至少为 \(2\) 的正整数为 windy 数。求 \([l,r]\) 中 windy 数个数。\(2 \times 10^9\)。

转化问题，答案即为 \([1,r]\) 中个数减去 \([1,l-1]\) 中个数，于是只需要考虑如何求 \([1,x]\) 间个数。

下面是数位 dp 板子做法。

设 \(dp_{i,j,lim,zero}\) 表示前 \(i\) 高位且第 \(i\) 位为 \(j\)，前 \(i\) 高位是否与 \(x\) 一致(\(lim \in \{0,1\}\))，是否全部为 \(0\) 的个数(\(zero \in \{0,1\}\))。

设新枚举的第 \(i+1\) 位为 \(k\)，\(x\) 第 \(i\) 位为 \(a_i\)。先考虑几个限制：

• \(lim=1\) 且 \(k>a_{i+1}\)：这时若拼接上 \(k\) 则最终的数一定超过 \(x\)，“剪枝”？
• \(zero=0\) 且 \(|k-j|<2\)：此时已不属于前导零（这是个坑），依据题意，相邻两个数字之差至少为 \(2\)。

转移很好理解。

memset(f,0,sizeof(f));
f[0][0][1][1]=1;
for(int i=0; i<=10; i++)  // 前i高位
 for(int j=0; j<=9; j++) // 第i位为j
  for(int lim=0; lim<=1; lim++) // 是否卡最大
   for(int zero=0; zero<=1; zero++) // 是否为前导零
    for(int k=0; k<=9; k++){ // 枚举第i+1位为k
     if(lim && k>a[i+1]) break;
     if(!zero && abs(k-j)<2) continue;
     f[i+1][k][lim&&k==a[i+1]][zero&&!k]+=f[i][j][lim][zero];
    }

记录详情。

P4124 [CQOI2016] 手机号码

一个手机号码满足：\(11\) 位；不含前导 \(0\)；至少出现 \(3\) 个相邻且相同的数字；不同时出现 \(8\) 和 \(4\)。

求 \([l,r]\) 内手机号码个数。\(10^{10} \le l \le r < 10^{11}\)。