UVA11346 Probability
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题意
在 \([-a,a]\times[-b,b]\) 的区域内（即一个矩形）取一点 \(P\)，连接 \(OP\)，求以 \(OP\) 为对角线的矩形面积大于 \(S\) 的概率（\(O\) 为原点）。
多测，组数 \(T\le 200\)，每组数据都有 \(3\) 个实数 \(a,b,S\)，且 \(a,b>0,S\ge 0\)。
思路
前置知识
简单概率论。
积分公式：\(\displaystyle\int \frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert+C\)。
首先先特判：若 \(S=0\)，则 \(P=1\)；若 \(S\ge ab\)，则 \(P=0\)。
其次，求概率就是求面积占比，所以我们只需求出满足条件的点集覆盖的面积占总面积的百分比即可。
由于对称性，所以我们只需要求 \(1\) 个象限的即可，这里采用第 \(1\) 象限。
设点 \(P(x,y)\)，则有 \(xy>S\)，即 \(\displaystyle y>\frac{S}{x}\)，画出图后可以得出，图象是一支双曲线。
如图，红色部分即我们要求的面积：
而红色部分的面积为：
\[\begin{aligned}S' &=\int_{\frac{S}{b}}^{a}(b-\frac{S}{x})dx\\&=\int_{\frac{S}{b}}^{a}b dx-\int_{\frac{S}{b}}^{a}\frac{S}{x}dx\\&=b\times(a-\frac{S}{b})-S\times(\ln a-\ln \frac{S}{b})\\&=ab-S-S\times\ln \frac{ab}{S}\end{aligned}
\]
因此，概率 \(\displaystyle P=\frac{ab-S-S\times\ln \frac{ab}{S}}{ab}\)。
程序
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#define re register
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define vl __int128
#define ld long double
#define LL 2e18
#define INT 1e9
#define INF 0x3f3f3f3f
#define lb(x) (x&(-x))
#ifdef __linux__
#define gc getchar_unlocked
#define pc putchar_unlocked
#else
#define gc _getchar_nolock
#define pc _putchar_nolock
#endif
int T=1;
using namespace std;
inline bool blank(const char x){return !(x^32)||!(x^10)||!(x^13)||!(x^9);}
template<typename Tp>inline void read(Tp &x){x=0;re bool z=true;re char a=gc();for(;!isdigit(a);a=gc())if(a=='-')z=false;for(;isdigit(a);a=gc())x=(x<<1)+(x<<3)+(a^48);x=(z?x:~x+1);}
inline void read(double &x){x=0.0;re bool z=true;re double y=0.1;re char a=gc();for(;!isdigit(a);a=gc())if(a=='-')z=false;for(;isdigit(a);a=gc())x=x*10+(a^48);if(a!='.')return x=z?x:-x,void();for(a=gc();isdigit(a);a=gc(),y/=10)x+=y*(a^48);x=(z?x:-x);}
inline void read(ld &x){x=0.0;re bool z=true;re ld y=0.1;re char a=gc();for(;!isdigit(a);a=gc())if(a=='-')z=false;for(;isdigit(a);a=gc())x=x*10+(a^48);if(a!='.')return x=z?x:-x,void();for(a=gc();isdigit(a);a=gc(),y/=10)x+=y*(a^48);x=(z?x:-x);}
inline void read(char &x){for(x=gc();blank(x)&&(x^-1);x=gc());}
inline void read(char *x){re char a=gc();for(;blank(a)&&(a^-1);a=gc());for(;!blank(a)&&(a^-1);a=gc())*x++=a;*x=0;}
inline void read(string &x){x="";re char a=gc();for(;blank(a)&&(a^-1);a=gc());for(;!blank(a)&&(a^-1);a=gc())x+=a;}
template<typename T,typename ...Tp>inline void read(T &x,Tp &...y){read(x),read(y...);}
template<typename T>inline void read(T *begin,T *end){re T *i;if(begin<end)for(i=begin;i<end;++i)read(*i);else for(i=begin-1;i>=end;--i)read(*i);}
template<typename Tp>inline void write(Tp x){if(!x)return pc(48),void();if(x<0)pc('-'),x=~x+1;re int len=0;re char tmp[64];for(;x;x/=10)tmp[++len]=x%10+48;while(len)pc(tmp[len--]);}
inline void write(const double x){re int a=6;re double b=x,c=b;if(b<0)pc('-'),b=-b,c=-c;re double y=5*powl(10,-a-1);b+=y,c+=y;re int len=0;re char tmp[64];if(b<1)pc(48);else for(;b>=1;b/=10)tmp[++len]=floor(b)-floor(b/10)*10+48;while(len)pc(tmp[len--]);pc('.');for(c*=10;a;a--,c*=10)pc(floor(c)-floor(c/10)*10+48);}
inline void write(const ld x){re int a=6;re ld b=x,c=b;if(b<0)pc('-'),b=-b,c=-c;re ld y=5*powl(10,-a-1);b+=y,c+=y;re int len=0;re char tmp[64];if(b<1)pc(48);else for(;b>=1;b/=10)tmp[++len]=floor(b)-floor(b/10)*10+48;while(len)pc(tmp[len--]);pc('.');for(c*=10;a;a--,c*=10)pc(floor(c)-floor(c/10)*10+48);}
inline void write(const pair<int,double>x){re int a=x.first;if(a<7){re double b=x.second,c=b;if(b<0)pc('-'),b=-b,c=-c;re double y=5*powl(10,-a-1);b+=y,c+=y;re int len=0;re char tmp[64];if(b<1)pc(48);else for(;b>=1;b/=10)tmp[++len]=floor(b)-floor(b/10)*10+48;while(len)pc(tmp[len--]);a&&(pc('.'));for(c*=10;a;a--,c*=10)pc(floor(c)-floor(c/10)*10+48);}else printf("%.*lf",a,x.second);}
inline void write(const pair<int,ld>x){re int a=x.first;if(a<7){re ld b=x.second,c=b;if(b<0)pc('-'),b=-b,c=-c;re ld y=5*powl(10,-a-1);b+=y,c+=y;re int len=0;re char tmp[64];if(b<1)pc(48);else for(;b>=1;b/=10)tmp[++len]=floor(b)-floor(b/10)*10+48;while(len)pc(tmp[len--]);a&&(pc('.'));for(c*=10;a;a--,c*=10)pc(floor(c)-floor(c/10)*10+48);}else printf("%.*Lf",a,x.second);}
inline void write(const char x){pc(x);}
inline void write(const bool x){pc(x?49:48);}
inline void write(char *x){fputs(x,stdout);}
inline void write(const char *x){fputs(x,stdout);}
inline void write(const string &x){fputs(x.c_str(),stdout);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x),write(y...);}
template<typename T>inline void write(T *begin,T *end,const char c=' '){re T *i;for(i=begin;i<end;++i)write(*i,c);}
template<typename T>inline void init(T *begin,T *end,const T& val=T()){re T* i;for(i=begin;i<end;++i)*i=val;}
template<typename T>inline T max(T *begin,T *end){re T *ans,*i;for(i=begin;i<end;++i)if(i==begin||*ans<*i)ans=i;return *ans;}
template<typename T>inline T min(T *begin,T *end){re T *ans,*i;for(i=begin;i<end;++i)if(i==begin||*i<*ans)ans=i;return *ans;}
template<typename T>inline T calc_sum(T *begin,T *end,const T& val=T()){re T ans=val,*i;for(i=begin;i<end;++i)ans+=*i;return ans;}
template<typename T>inline bool is_equal(T *begin,T *end,const T& val=T()){re T *i;for(i=begin;i<end;++i)if(*i!=val)return false;return true;}
ll mod=0;
const int MAXN=0;
const int N=MAXN+10;
//#define DEBUG
#define more_text
double a,b,S;
void SOLVE(int step){
read(a,b,S);
if(S==0)write("100.000000%\n");
else if(S>=a*b)write("0.000000%\n");
else write(100.0*(a*b-S-S*log(a*b/S))/(a*b),"%\n");
}
/*
Input:
Output:
Outline:
*/
int main(){
#ifdef DEBUG
freopen("test.in","r",stdin);freopen("test.out","w",stdout);
#endif
#ifdef more_text
read(T);
#endif
for(int i=0;i<T;++i)SOLVE(i);
#ifdef DEBUG
fclose(stdin);fclose(stdout);
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}
浙公网安备 33010602011771号