题解：AT_abc367_g [ABC367G] Sum of (XOR^K or 0)

不是很困难的题。

题意：给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 和 \(m,K\)，从中任意选一个子序列 \(A\) 出来，要求长度是 \(m\) 的倍数，贡献为 \((\bigoplus\limits_{i\in A} a_i)^K\)。求所有合法子序列的贡献之和。\(n\le 2\times 10^5,m\le 100,a_i\le 2^{20}\)。

做法：

首先先不管那个 \(m\) 的限制的话，这就是个 fwt 板子题，也就是求 \(\prod (1+x^{a_i})\) 的结果，这里是异或卷积。这个东西很经典，考虑 fwt 本质是在做啥，对于 \(f(x) = x^{t}\) 而言，其 fwt 的结果是 \(\sum\limits_{i=0}^{2^k-1}(-1)^{\operatorname{popcount}(t\&i)}x^i\)。这个系数只有 \(1\) 或者 \(-1\)，所以最后对位乘出来的只跟 \(1,-1\) 的个数有关。所以我们可以直接先算 \(g(x) = \sum x^a_i\) 的 fwt 结果，然后我们就可以知道有多少个 \(1\) 和 \(-1\)，进而就可以求出来 \(\prod (1+x^{a_i})\) fwt 后的结果，直接再 ifwt 回来即可。

考虑咋处理这个 \(m\) 的限制，我们引入一个 \(z\) 进行占位。那么就变成了 \(\prod(a+x^{a_i}z)\)，对 \(x\) 做异或卷积，对 \(z\) 做循环卷积，最后取 \([z^0]\) 的项的结果。

那么我们可以把 \(x\) 当作主元，把 \(z\) 当成 fwt 的系数来处理，那么这样我们对每个项 fwt 再乘在一起后结果就是 \((1+z)^x(1-z)^{n-x}\)，这个 \(x\) 可以和我们上面说的一样求出来。

然后怎么做呢？fwt 有线性性，所以我们完全可以对于每个 \(z\) 的次数单独解了然后再 ifwt 回来。所以我们发现我们如果现在解出来 \(z\) 的 \(0\) 次项的系数然后再 ifwt 回来就是对的。那么现在就要求 \((1+z)^x(1-z)^{n-x}\) 循环卷积 \(0\) 次项的系数。

注意到 \(m\) 只有 \(100\)，且 \(x\) 只有 \(n\) 项，我们完全可以直接把 \((1+z)^x\) 每项的系数暴力通过 \((1+z)^{x-1}\) 解出来，\((1-z)^{n-x}\) 类似，那么枚举 \((1+z)\) 贡献的次数然后找对应的 \((1-z)^{n-x}\) 中次数即可。

最后按题目中的要求算一下答案即可。

代码：

using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 11e5 + 5, k = 20, mod = 998244353;
int n, m, K, b[maxn];
struct Poly_xor {
	vector<int> a;
	void resize(int N) {
		a.resize(N);
	}
	int size() {
		return a.size();
	}
	int& operator[](int x) {
		return a[x];
	}
	void fwt(int f) {
		int n = size();
		for (int h = 2; h <= size(); h <<= 1)
			for (int i = 0; i < size(); i += h)
				for (int j = i; j < i + h / 2; j++) {
					int a0 = a[j], a1 = a[j + h / 2];
					a[j] = (a0 + a1) * f % mod, a[j + h / 2] = (a0 - a1 + mod) * f % mod;
				}
	}
} f;
int qpow(int x, int k, int p) {
	int res = 1;
	while(k) {
		if(k & 1)
			res = res * x % p;
		x = x * x % p, k >>= 1;
	}
	return res;
}
struct Poly {
	vector<int> a;
	void resize(int N) {
		a.resize(N);
	}
	int size() {
		return a.size();
	}
	int& operator[](int x) {
		return a[x];
	}
	void shift() {
		int v = a[a.size() - 1];
		for (int i = a.size() - 1; i >= 1; i--)
			a[i] = a[i - 1];
		a[0] = v;
	}
	friend Poly operator+(Poly f, Poly g) {
		int d = max(f.size(), g.size());
		f.resize(d), g.resize(d);
		for (int i = 0; i < d; i++)
			f[i] = (f[i] + g[i]) % mod;
		return f;
	}
	friend Poly operator-(Poly f, Poly g) {
		int d = max(f.size(), g.size());
		f.resize(d), g.resize(d);
		for (int i = 0; i < d; i++)
			f[i] = (f[i] - g[i] + mod) % mod;
		return f;
	} 
} pre[maxn], suf[maxn];
int get_val(Poly f, Poly g) {
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i < f.size(); i++)
		ans = (ans + f[i] * g[(m - i) % m]) % mod;
	return ans;
}
signed main() {
	cin >> n >> m >> K;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> b[i];
	pre[0].resize(m), suf[n + 1].resize(m);
	pre[0][0] = suf[n + 1][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		Poly t = pre[i - 1]; t.shift();
		pre[i] = pre[i - 1] + t;
//		for (int j = 0; j < m; j++)
//			cout << pre[i][j] << " ";
//		cout << endl;
	}
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		Poly t = suf[i + 1]; t.shift();
		suf[i] = suf[i + 1] - t;
//		for (int j = 0; j < m; j++)
//			cout << suf[i][j] << " ";
//		cout << endl;
	}
//	cout << 123 << endl;
	f.resize((1 << k));
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		f[b[i]]++;
	f.fwt(1);
//	for (int i = 0; i < (1 << k); i++)
//		cout << f[i] << " ";
	for (int i = 0; i < (1 << k); i++) {
		if(f[i] > n)
			f[i] = f[i] - mod;
		int t = (n + f[i]) / 2;
		f[i] = get_val(pre[t], suf[t + 1]);
	//	cout << f[i] << endl;
	}
	f.fwt((mod + 1) / 2);
//	for (int i = 0; i < (1 << k); i++)
//		cout << f[i] << " ";
//	cout << endl;
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i < (1 << k); i++)
		ans = (ans + qpow(i, K, mod) * f[i]) % mod;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}