题解：uoj961【UR #30】赛场设计

很 educational 的题。

题意：给出一个数 \(n\) 和模数，问有多少个 \(n\) 个点的有向图，满足图中无环，且不存在 \(a,b,c\) 满足 \(a\) 不可以到 \(b\)，\(b\) 不可以到 \(c\)，\(c\) 不可以到 \(a\)。

做法：

正着可能可以对这样的图进行描述，但是相当麻烦，我们考虑对不可达关系进行建边，发现这样得到的图比竞赛图还要强，竞赛图的一些性质还在这个图上符合：

1. 缩点之后是条链。

2. 点数 \(> 2\) 的强连通分量一定有三元环。

而这个图上的三元环就是原题中的需要满足不存在的条件，所以就要求这个新图缩点后的每个 scc 大小都要 \(\le 2\)。

那么考虑 dp，这里我们对新图 dp，但是连边记得还是考虑原图，\(dp_{i,j}\) 代表用了 \(i\) 个点，上一个 scc 的大小为为 \(j\) 的，我们这里为了方便，同时除掉了 \(n!\) 和 \(2^{\frac{n(n-1)}2}\)，直接转移即可，记得两点之间除了新图上链上的边必定在原图中是反向，其他的边是可有可不有的，所以有些系数是这样的，如下：

\[dp_{i+1,1} = dp_{i, 1}\frac 1 {2^{i-1}}+dp_{i,2}\frac 1{2^{i-2}} \]

\[dp_{i+2,2} = dp_{i, 1}\frac 1 {2^{2(i-1)}}+dp_{i,2}\frac 1{2^{2(i-2)}} \]

给出代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 2e6 + 5;
int dp[maxn][3], n, mod;
int inv[maxn], revjc[maxn];
int cal(int x, int y) {
	return revjc[y] * inv[y * (y - 1) / 2 + x * y] % mod;
}
int qpow(int x, int k, int p) {
	int res = 1;
	while(k) {
		if(k & 1)
			res = res * x % p;
		x = x * x % p, k >>= 1;
	}
	return res;
}
signed main() {
	cin >> n >> mod;
	inv[0] = 1; revjc[0] = revjc[1] = 1;
	for (int i = 1; i <= 2 * n; i++)
		inv[i] = inv[i - 1] * (mod + 1) / 2 % mod;
	for (int i = 2; i <= 2 * n; i++)
		revjc[i] = (mod - mod / i) * revjc[mod % i] % mod;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		revjc[i] = revjc[i - 1] * revjc[i] % mod;
	dp[1][1] = cal(0, 1), dp[2][2] = cal(0, 2);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int x = 1; x <= 2; x++)
			for (int y = 1; y <= 2; y++)
				dp[i + y][y] = (dp[i + y][y] + dp[i][x] * cal(x, y)) % mod;
	}
	int res = (dp[n][1] + dp[n][2]) % mod;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		res = res * i % mod;
	cout << res * qpow(2, n * (n - 1) / 2, mod) % mod << endl;
	return 0;
}