题解：qoj7938 Graph Race

简单题。

题意：给出一张图，边权为 \(1\)，每个点有属性 \(a,b\)，定义一个点 \(u\) 的权值 \(f(u)\) 为 \(\max _{u\not=v}a_v-b_v\operatorname{dis}(u,v)\)，按从小到大的顺序输出与 \(1\) 相连的的点的 \(f\) 值。

做法：

首先观察到只需要输出与 \(1\) 相连的而不是任一点，说明这是有意义的。我们注意到，与 \(1\) 相连的点 \(u\)，与其他 \(v\) 的距离 \(\operatorname{dis}(u,v)\) 和 \(\operatorname{dis}(1,v)\) 相差不会超过 \(1\)，所以可以直接讨论三者的贡献。

首先对于 \(\operatorname{dis}(1,v)+1\)，因为这个是最差的可能，直接全部更新就可以了。

然后对于 \(\operatorname{dis}(1,v) - 1\) 和 \(\operatorname{dis}(1,v)\)，前者等于，我令 \(\operatorname{dis}(1,x)+1=\operatorname{dis}(1,y)\) 的这些边在新图上连一条 \(x\rightarrow y\) 的有向边，然后只能走这些有向边到达；后者等于我可以走一条 \(\operatorname{dis}(1,x)=\operatorname{dis}(1,y)\) 的边。

第一种边很好连，关键在于第二种我只能走一条，只能走一条这种限制很分层图，直接拆开就可以了。

记得要求 \(u\not=v\)。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 6e5 + 5;
int n, m, a[maxn], b[maxn], ans[maxn];
vector<int> e[maxn], g[maxn];
int dis[maxn];
void bfs(int s) {
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
	dis[s] = 0;
	queue<int> q; q.push(s);
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front(); q.pop();
		for (int i = 0; i < e[u].size(); i++) {
			int v = e[u][i];
			if(dis[v] > dis[u] + 1) {
				dis[v] = dis[u] + 1;
				q.push(v);
			}
		}
	}
}
int vis[maxn], res[maxn];
struct node {
	int val, p;
	friend bool operator<(node x, node y) {
		return (x.val < y.val ? 1 : 0);
	}
	node() {
		val = -9e18, p = 0;
	}
	node(int V, int P) {
		val = V, p = P;
	}
} mx, smx;

void dfs(int u) {
	if(vis[u])
		return ;
	vis[u] = 1;
	res[u] = a[u] - b[u] * dis[u];
	for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) {
		int v = g[u][i];
		dfs(v);
		ans[u] = max(ans[u], res[v]);
	}
	res[u] = max(res[u], ans[u]);
//	cout << u << " " << ans[u] << " " << res[u] << endl;
}
signed main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i] >> b[i];
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y; cin >> x >> y;
		e[x].push_back(y);
		e[y].push_back(x);
	}
	bfs(1);
	memset(ans, -0x3f, sizeof(ans));
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		node t = node{a[i] - (dis[i] + 1) * b[i], i};
		if(smx < t)
			smx = t;
		if(mx < smx)
			swap(smx, mx);
	}
//	cout << mx.val << " " << mx.p << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j < e[i].size(); j++) {
			int k = e[i][j];
			if(dis[i] + 1 == dis[k])
				g[i].push_back(k), g[i + n].push_back(n + k);
			else if(dis[i] == dis[k])
				g[i].push_back(k + n);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		dis[i + n] = dis[i], dis[i] = max(dis[i] - 1, 0ll),
		a[i + n] = a[i], b[i + n] = b[i];
	for (int i = 1; i <= 2 * n; i++)
		dfs(i);
	sort(e[1].begin(), e[1].end());
	for (int i = 0; i < e[1].size(); i++) {
		if(e[1][i] == mx.p)
			cout << max(smx.val, ans[e[1][i]]) << endl;
		else
			cout << max(mx.val, ans[e[1][i]]) << endl;
	}
	return 0;
}
/*
3 3
1235 123
2152 242
324 31
1 2
2 3
3 1
*/