题解：P3447 [POI 2006] KRY-Crystals

题意：给定 \(n\) 个正整数 \(m_1\) 到 \(m_n\)，对长度为 \(n\) 且满足以下条件的整数序列 \(a\) 计数：

• 对于任意 \(1\le i\le n\)，\(0\le a_i\le m_i\)；
• \(a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_n=0\)，其中 \(\oplus\) 为按位异或运算；
• \(a_1+a_2+\cdots+a_n\ge1\)。

做法：

首先我们考虑，如果有一个最大的数满足 \(a_i = 2^k-1\)，那么很好的一点是，我们可以令其他的元素随意选择，最后这个数去调整即可。

那么对于正常的情况显然没有这么好的事。我们先按照正常的跟 bit 的题，考虑从高位往地位去确定，发现一个事情，如果我有一个数没有上到上限，那么就等于他变成了我们上面所述的那个可以 \(a_i=2^{k}-1\) 的情况！所以我们可以直接枚举到哪一位出现了这种情况然后 dp 那一位。

我们记 \(dp_{i,0/1,0/1}\) 代表考虑到了第 \(i\) 个元素，目前这一位的异或值为 \(0/1\)，是否已经有了可以随意支配的元素。

转移直接就是枚举这一位是什么，是否会成为随意支配元素，具体可以见代码。

注意一些细节，有可能所有数都顶到上界，这种需要特判一下；枚举第 \(i\) 位时，需要保证更高位的异或值要是 \(0\)，因为保证了都是顶满的直接计算即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 55;
int dp[maxn][2][2], n, a[maxn], s;
unsigned int ans;
signed main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i], s ^= a[i];
	ans = !s, s = 0;
	for (int i = 31; i >= 0; i--) {
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		dp[0][0][0] = 1;
		s = 0;
		int all = (1ll << i) - 1;
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			int t = ((a[j] >> i) & 1);
			if(!t) {
				for (int x = 0; x <= 1; x++)
					for (int y = 0; y <= 1; y++)
						dp[j][x][y] = dp[j - 1][x][y] * ((a[j] & all) + 1);
			}
			else {
				dp[j][0][0] = dp[j - 1][1][0] * ((a[j] & all) + 1);
				dp[j][1][0] = dp[j - 1][0][0] * ((a[j] & all) + 1);
				dp[j][0][1] = dp[j - 1][1][1] * ((a[j] & all) + 1) + dp[j - 1][0][1] * (all + 1) + dp[j - 1][0][0];
				dp[j][1][1] = dp[j - 1][0][1] * ((a[j] & all) + 1) + dp[j - 1][1][1] * (all + 1) + dp[j - 1][1][0];
			}
			s ^= (a[j] >> i + 1);
		}
		if(!s)
			ans += dp[n][0][1];
	//	cout << i << " " << ans << " " << (a[2] & all) << endl;
	}
	cout << ans - 1 << endl;
	return 0;
}