题解：AT_arc082_c [ARC082E] ConvexScore

题意：很简单了，不再赘述。

做法：

首先我们注意到这个代价给的非常奇怪，他可以直接说是除了顶点但是还是要做减法，我们不妨先把这些点和内部的点视为一个点集。

然后我们发现我们并不会求一个随意点的平面上有多少个凸包，所以这个 \(2\) 为底数一定是非常有说法的，很常见的是我们转化为内部的那些点每个都可以选或不选，这样统计答案。

我们发现一个很神奇的事情，这样考虑就等于我们随一个点集，我们直接令他们的凸包围住他就可以了，只要要求随出来的点集不是全部共线即可。

那么答案就是 \(2^n\) 减去共线情况，我们直接枚举两端端点并算出来中间有多少个，假设是 \(x\) 个，那么就减去 \(2^x\) 的贡献。

注意减去单点和空集的答案。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e5 + 5, mod = 998244353;
int x[maxn], y[maxn], n, pw[maxn];
double slope(int i, int j) {
	if(x[i] == x[j])
		return 1e9;
	return (y[j] - y[i]) / (double)(x[j] - x[i]);
}
signed main() {
	cin >> n;
	int ans = 1; pw[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> x[i] >> y[i], ans = ans * 2 % mod, pw[i] = ans;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
			int cnt = 0;
			for (int k = i + 1; k < j; k++)
				cnt += (slope(i, k) == slope(k, j));
			ans = (ans - pw[cnt] + mod) % mod;
		}
	cout << (ans - n - 1 + mod) % mod << endl;
	return 0;
}