题解：CF1605F PalindORme

看了 n 年才发现自己读错题了。

题意：很简单了，不再赘述。

做法：

一般来说给了一个定义就先手玩一下感受一下，我们从 \(i=1\) 开始手玩：

\[a_1 = a_n \]

\[a_1|a_2 = a_{n-1}|a_n \]

我们先考虑相邻的这两个限制，会发现一个事情，对于 \(a_{n-1}\) 和 \(a_2\)，他们会多出来的位一定是相同的，对于其他的讨论同样有此结论。

那么我们就可以给出来一个合法序列的充要条件，假设我们目前序列中已有的数或值为 \(V\)，那么要求能选出两个数 \(x,y\)，满足 \(V|x = V|y\)，然后把他们加入集合中。

有了这个条件我们再考虑计数，直接计数好像并不太容易，注意到不能继续操作的时候肯定是除去 \(V\) 中位的时候剩余的数各不相同，这个看起来很容易计数，我们考虑计数不能的方案再减去。

首先我们计算总的方案数，记 \(f_{i,j}\) 代表序列长为 \(i\)，二进制位恰好有 \(j\) 位时的总序列数，那么直接容斥 \(j\)，可以得到转移式：

\[f_{i,j} = \sum_{k=0}^j(-1)^{j-k}C_{j}^k(2^k)^i \]

然后我们考虑用 \(g_{i,j}\) 代表序列长为 \(i\)，二进制位恰有 \(j\) 位时不合法序列数，这里我们考虑直接枚举到什么时候我们无法操作了，有转移式：

\[g_{i,j} = \sum_{x = 0}^{i-1}\sum_{y=0}^{j-1} (f_{x, y} - g_{x,y})\times (2^y) ^ {i-x}C_{i}^xC_j^y \times [长为 i-x，用了恰好 j-y 个位的序列数量] \]

解释一下，\(f_{x,y}-g_{x,y}\) 是枚举的合法序列数量，\((2^y)^i\) 是因为我这剩下的 \(i-x\) 个数在这 \(y\) 位中可以随意选择，组合数就是选出来的方案数。

那么看到上面还有一个东西要求，我们可以再设一个，\(h_{i,j}\) 代表序列长为 \(i\)，二进制位恰有 \(j\) 位时，所有数全都不同且没有 \(0\) 有多少种方案，还是对 \(j\) 容斥得到式子：

\[h_{i,j} = \sum_{k=0}^j(-1)^{j-k}C_j^k(2^k-1)^{\underline{i}} \]

注意我们这里特别强调了没有 \(0\)，因为如果我们前面填了 \(0\)，但是我们在这个不能操作的序列中也有 0，这样就重复了，所以我们这里不能让他有 \(0\)。

注意到一个事情，如果说是奇数的 \(n\)，那么显然最后的时候我们其实是可以填一个 \(0\) 上去的，所以注意转移 \(g\) 的时候此时不能转移。

复杂度 \(O(n^2k^2)\)。