题解：qoj9737 Let's Go! New Adventure

题意：给定序列 \(a\) 和不降序列 \(b\) 和常数 \(c\)，定义 \(f(l,r) = \max\{p|\sum_{i=l} ^r a_i \ge \sum_{i=1}^p b_i\} - c\)，求将序列 \(a\) 分成若干段后每段 \(f\) 之和的最大值。

做法：

一般来说序列分段的问题都需要决策单调性，但是这个题直接做是不具有单调性的，感性理解为什么 \(f\) 不满足四边形不等式，因为你区间更长的时候增速只会更慢，所以 \(f(l-1,r+1)-f(l-1,r) \ge f(l, r + 1) - f(l, r)\) 这个式子是不会成立的，当然更严谨的说明是因为 \(f\) 并不是光滑的，所以直接上决策单调性是不可以的。

我们考虑给这个函数进行一定的改造使得他是光滑的并且有凸性，考虑这样一个函数 \(g(l,r) = \max\{p|\sum_{i=l} ^r a_i \ge \sum_{i=1}^p b_i\} - c + \frac{\sum_{i=l} ^r a_i - \sum_{i=1}^p b_i}{b_{p+1}}\)。因为是不降序列 \(b\)，所以 \(b_{p+1}\) 随着 \(\sum_{i=l}^{r}a_i\) 增大而增大，后面多加的东西的东西的增速就会放缓，且一定 \(<1\)，所以就会有凸性，对这个函数去做决策单调性就可以了。