题解：CF1034D Intervals of Intervals

题意：给你若干个区间 \([l_1,r_1]...[l_n, r_n]\)，定义 \(f([L,R]) = \bigcap\limits_{i=L}^{R}[l_i,r_i]\)，求前 \(k\) 大的权值之和。

做法：

首先看到前 \(k\) 大，那么很自然想到我们去二分最小的权值 \(x\) 是多少，然后去枚举右端点，同时维护左端点的最大值，计算出总共有多少个点对的权值至少为 \(x\)。当我们知道最小的权值为 \(V\)，我们再算出来权值 \(\ge V + 1\) 的点对权值之和再加上 \(=V\) 的权值贡献。

那么我们现在只需要解决两个问题：

1. 如何求解有多少个点对，他们的权值都 \(\ge x\)。

2. 如何求解对于权值 \(\ge x\) 的点对，他们的权值之和是多少。

第一个可以很容易通过双指针 + 线段树解决，这里简单讲一下，我们类似扫描线，每个节点维护一个覆盖标记和覆盖的区间长度，然后按照扫描线的方法类似维护即可，加上外层的二分是 \(O(n\log^2 n)\) 的，可以自己写写，我是被卡常了。

那么怎么样去做到 \(O(n)\) 呢，我们换一种统计的思路，仍然采用双指针。在右指针从左往右扫的时候，我们考虑给每个数轴上每个点 \(p\) 记录一个 \(last\) 数组，代表他最后一次被第 \(last_p\) 个区间给覆盖了，有点类似数颜色数通过数最后一个去重的手法。

那么我们现在需要检验点对 \((l', r')\) 是否可行，就等同于要求 \(\sum\limits_p [last_p \ge l']\) 的个数是否 \(\ge x\)。而维护这个 \(last\) 数组我们可以直接用珂朵莉树维护，所以这样做均摊下来复杂度是 \(O(n\log n)\) 的。

你可能会觉得这样并没有什么用，加上二分仍然是 \(O(n\log^2 n)\) 的，但是注意到一个事情，我们这里每次覆盖的区间其实是确定的，所以就意味着我们没有必要每次二分时重新用 set 维护颜色段，可以在二分之前提前预处理出来，复杂度就是 \(O(n\log n)\) 的了。

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我们现在考虑第二个怎么做。

我们先将问题弱化一下，考虑没有那么多点对，而是 \(O(n)\) 个点对怎么做。

我们同样类似第一个问题中后面提到的方法，我们先进行扫描线，枚举右端点，同时维护以 \(x\) 为左端点的点对的答案。

考虑一个点对答案的贡献。一个点 \(x\) 的标记从 \(l\) 变成 \(l'\) 的时候,左端点在 \((l',l]\) 内的点对都会获得 \(1\) 的贡献。我们可以用线段树维护这个修改即可，对于查询一个点对的时候，直接在线段树上单点查就可以了。

那么对于原问题，对于一个右端点，我们的左端点是一个区间，那么我们就在线段树上区间查就可以了。

总复杂度 \(O(n\log n)\)。