分治

什么是分治？

• 把一个较大规模的问题分成若干个较小规模的问题。

1. 小规模的问题与原问题不同（根号分治）。

2. 小规模的问题与原问题相同（对数分治）。

二分就是一种对数分治的方法。

cdq 分治 & 线段树分治

修改和询问的整体分治也被称为 cdq 分治。

要求：修改对询问具有可加性。

主要操作：

1. 将所有操作离线。

2. 对于区间 \([l,r]\)，选取中点 \(mid\)，只统计左修改对右的贡献。

3. 递归 \([l, mid], [mid + 1, r]\)。

无题号 函数

三种操作，加入一个一次函数，删除一个函数，求 \(x_0\) 处所有函数的最大值，\(n\le 10^6\)。

第一眼看上去是线段树分治（），但是要求用 cdq 做。

考虑维护一个下凸壳，插入好做，删除不好做。

考虑先从左往右扫一遍统计只有 + 的贡献。

然后从 \(r\rightarrow mid+1\)，把删除改成增加，倒着扫，从 \(r\rightarrow mid + 1\)，用平衡树维护下凸壳。

• 如何用平衡树维护下凸壳

注意到斜率是单增的，考虑维护这个东西。

他肯定是包含了一个斜率区间，然后切掉了两端直线的部分。

那么我们维护两个东西：凸包上的斜率，交点的 \(x\) 坐标。

然后平衡树找到斜率之后，直接向前向后枚举被删除掉的斜率，维护这两个东西就行。

讲了这么久，最后告诉我 cdq 过不去（）

正解是线段树分治套平衡树维护凸包（），这玩意儿是 \(O(n\log^2 n)\) 的。

可以在节点时就把斜率排序好, 每个节点维护一个凸包就行，\(O(n\log n)\)。

CTSC2016 时空旅行

一棵树，每个节点上有一个集合 \(S_u = \{(x, c)\}\)，并且每个节点一定是其父亲增减一个数对得到。

给出多次 \(u, x_0\)，问 \(\min\limits_{(x,c)\in S_u} (x - x_0) ^2 + c\)。

把式子展开，发现和上面那道题其实一样，但加了一个持久化的操作。

可以把删除抽象成 dfs 序上删了一段，可以想到段数只会是点数带个常数，然后和上个题一模一样。

P5787 二分图 /【模板】线段树分治

简单板子题。

把边的存在区间拍上去再可撤销并查集就做完了。

P4585 [FJOI2015] 火星商店问题

首先先对时间线段树分治，然后对每个节点的答案再汇总。

考虑每个节点弄一个可持久化 01 Trie，然后 \([l, r]\) 中的商店的最大值就是 \([1, r] - [1, l - 1]\) 的最大值（在 01 Trie 的节点上）。

复杂度两只 log。

整体二分

如果需要很多次二分并且可以离线，那么就可以用整体二分来解决。

P3332 [ZJOI2013] K大数查询

发现如果只有一次二分很简单，直接做就可以，但是复杂度 \(O(nq)\)。

考虑整体二分，同时二分所有问题。

假设我们现在二分到 \([l, r)\)，那么我们检验 \(mid\)。

按时间扫一遍当前的操作集合。

如果遇到修改，我们把 \(c\) 在 \([l, mid)\) 之间的先统计贡献，用线段树维护。

那么对于询问，我们按正常的二分的思路，查当前 \(mid\) 是否合法。

如果答案在 \([l, mid]\) 之间，加入左集合；否则减去 \(p\) 这个位置有多少个处于 \([l, mid)\) 的，然后扔到右集合。

然后把修改操作全部按 \(c\) 分到左右集合即可。

P3527 [POI2011] MET-Meteors

简单板子题，看题解吧。