最小直径生成树

最小直径生成树

• 注：下文的 \(dis(u,v)\) 指的是 \(u,v\) 的最短路

• 给出一个无向图，找到其中的一颗直径最小的生成树。

• 我们考虑树有中心，是到所有节点距离最大的点最小的点。

• 类地的我们说一个图的中心，是一个点，这个点可以在图的点上，也可以是边上的一个点。

• 明确一些性质。

• 性质一：必然存在至少两个图上的点，到中心点距离最大。

• 证明：若仅仅存在一个，我们把中心点向着距离最大的那个点挪动，一定比原来更小，矛盾了。

• 那我们就先统计所有中心点在图上节点的最小直径生成树，也就是最大距离乘 \(2\) 取最小值。

• 接下来我们枚举所有边，考虑中心点在边上的情况。

• 我们枚举边 \(u,v,w\)，\(c \in (0,w)\) 我们假定中心点在 \(u,v\) 边上距离 \(u\) 为 \(c\)，距离 \(v\) 为 \(w-c\)

• 接下来我们其实只需要算半径就够了，也就是对于所有节点 \(t\)，\(\max\limits_{i=1}^tdis(t,c)\)，然后答案再对这个式子取min

• 拆以下其实 \(dis(t,c)=min(dis(t,u)+c,w-c+dis(v,t))\) 就这个式子。

• 其实就是两个一次函数取 min 变成了一条直线。

• 挂一张来自 oi-wiki 的图。
• 然后 \(\max\limits_{i=1}^tdis(t,c)\) 就相当于，多个这点放一起去 max

• 再头一张图。由于答案要对这个图像取 min，于是只要对多个最低点取 \(min\) 即可。

• 我们可以一次枚举每个最低点，我们可以先按照 \(dis(u,i)\) 给 \(i\) 排序。从达到小一次枚举 \(i\)

• 然后判断是都有交，就相当于判断上一个拐点，与当前拐点的 \(dis(v,p)<dis(v,i)\) 就有交，然后更新，具体详见代码。

• 诶，差点忘了，怎么找方案呢？对于点为中心，就直接跑最短路，然后按照网络流的方式搜索建树就好了。那要是边呢？搜索建树的同时判断最短路是否小于等于半径就好了。

后言

• 可我们要是直接取最大值和次大值更新答案，可能会有重边啊！那答案就大了
• 这这这，那我们的 性质一 就是最大手子的啊，因为它竟然只需要最大的，它它它竟不需要次大的，那我们什么都满足它，我们就分类讨论点和边，同时，中心还能在边上啊！

CodeForce 266D BerDonalds

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 220, M = N * N, inf = 0x3f3f3f3f;
int dis[N][N], rk[N][N], n, m;
int x[M], y[M], z[M];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= n;i++)for (int j = 1;j <= n;j++)dis[i][j] = inf;
    for (int i = 1, u, v, w;i <= m;i++)
        cin >> x[i] >> y[i] >> z[i], dis[x[i]][y[i]] = dis[y[i]][x[i]] = z[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++)dis[i][i] = 0;
    for (int k = 1;k <= n;k++)for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 1;j <= n;j++)if (dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j])
            dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
    for (int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for (int j = 1;j <= n;j++)rk[i][j] = j;
        auto cmp = [=](int x, int y) {return dis[i][x] < dis[i][y];};
        sort(rk[i] + 1, rk[i] + 1 + n, cmp);
    }
    int ans = inf;
    for (int i = 1;i <= n;i++)ans = min(ans, dis[i][rk[i][n]] << 1);
    for (int id = 1;id <= m;id++)
    {
        int u = x[id], v = y[id], w = z[id];
        for (int i = n - 1, p = n;i >= 1;i--)if (dis[v][rk[u][p]] < dis[v][rk[u][i]])
            ans = min(ans, dis[u][rk[u][i]] + dis[v][rk[u][p]] + w), p = i;
    }
    printf("%.2lf\n", ans * 0.5);
    return 0;
}