2025省选14节日

前言

• 孩子是最菜的，傻傻数不明白，哎，救救孩子吧

题目简述

• 有一个国家每年有 \(n\) 天，每年都会选择一个 \(1\) 到 \(n\) 的数，并把那天设为休息日，若一个工作日前一天，后一天都是休息日，那么这个工作日也会被设为休息日，前后关系我们认为成环。
• 若某一年工作日小于等于 \(m\) 那么这个国家就瘫痪了。每年都有一个权值为工作日天数的 \(t\) 次方。
• 求这个国家在瘫痪之前每年权值和的期望。

题解

• 嗯，先考虑 \(dp_{i}\) 表示某一年有 \(i\) 个工作日的概率，答案的话就是 \(dp_i\times \frac{n}{i}\times (n-i)^t\)

• 解释一下，从 \(i\) 个工作日，新增一个保持工作日的概率为 \(\frac{i}{n}\)，我们有期望 \(\frac{n}{i}\) 天之后会新增一个休息日，故此天数 \(\times\) 权值。

• 额，但是 \(dp_i\) 好像好像转移不了啊，为什么，因为不知道休息日的具体位置，那枚举集合？本题显然有更好的方法，我们枚举段数，以及段数的具体长度可重集合 \(s\)。

• 于是我们设 \(dp_{i,s}\) 表示有 \(i\) 个工作日，休息日被划分为了 \(|s|\) 段。

  • 首先明确几个观点。
  • 每一个休息日段，两个端点再往外的端点一定是工作日，且再往后也一定是工作日。
  • 
  • 如图所视，每个矩形都是休息日段，每个圆形都是休息日，显然我们可以吧 两个红圆和蓝色矩形，也就是绿色划线部分视作一个整体。

• 而这样 \(dp\) 的正确性呢？

  • 每一个长度为 \(len\) 的段构造出来的概率，只由其相对位置决定，故此，每个段的位置并不重要。这里的段是只绿线部分。

• 我们尝试对 \(dp\) 转移。

• 设 \(x=i-2j\) 表示所有蓝色圈的数量，这里 \(j=|s|\)

• 我们怎们转移，一个自然的想法，就是通过 \(s\) 构造出若干个枚举位置集合的状态 \(t\) 然后考虑 \(t\) 对 5 种情况的转移，5 种情况之后再说。这样的话我们需要，所有 \(t\) 的能对 5 种情况转移的数量，乘一下选择新的休息日的概率。

• 这里时间复杂度非常大，重点在于我们需要对着 \(s\) 枚举 \(t\)。那如何不枚举 \(t\) 呢，我们可以直接考虑所有 \(s\) 分别对 5 种情况的转移数量。

• 自认本本题最神奇的地方，也是统计转移数量。

• 每个转移的概率肯定相同吧，因为都是再找一个新的休息日的概率。那么对于 \(5\) 种情况的划分的概率系数就是，目前转移方案数/总转移数。

• 总转移数如何计算？ \(\binom{x+j}{x}\) 分配矩形和圆的位置，\(\binom{\sum len}{len_1,len_2,len_{j}}\) 依据长度相同的同构分配矩形的具体长度，这样的话集合就分配完啦，那么转移呢？我们枚举下一个工作日化为休息日是那一天，有 \(n-i\) 个。故此总转移方案数 \(\binom{x+j}{x}\binom{\sum len}{len_1,len_2,len_{j}}i\)

• 我们设 \(F(x,y)=\binom{x+y}{x}\)

• 情况一，我们新增一个段 \(F(x-3,j)\) 选择三个蓝色圆，什么意思钦定三个连续的蓝色圆置于 \(1,2,3\) 处，接着枚举剩下位置的方案，但是我们是一个环，所以一个三个连续蓝色圆还可以位于 \((234),(345),(n,1,2)\) 所以共 \((x+j)\) 种方案。对了同理还要枚举 \(\binom{\sum len}{len_1,len_2,len_{j}}\) 分配具体的段。

• 合起来

• 情况一的转移数量：\((x+j)\binom{\sum len}{len_1,len_2,len_{j}}F(x-3,j)\)

• 类似的我们有：

• 一个段长加 \(1\) \((x+j)\binom{\sum len}{len_1,len_2,len_{j}}2F(x,j-1)\)

• 一个段长度加 2 \((x+j)\binom{\sum len}{len_1,len_2,len_{j}}2F(x-1,j-1)\)

• 合并两个段 \(2(x+j)\binom{\sum len}{len_1,len_2,len_{j}}F(x,j-2)\)

• 合并两个段加一个蓝色的圆 \((x+j)\binom{\sum len}{len_1,len_2,len_{j}}F(x-1,j-2)\)

• 诶到这里其实可以发现概率还要除 \(\binom{x+j}{x}\binom{\sum len}{len_1,len_2,len_{j}}i\)，而且转移个数只和和段有关

• 那们尝试不枚举 \(dp_{i,s}\) 了 从而枚举 \(dp_{i,j=|s|}\)，进一步解释，其实 \(dp_{i,j}\) 是把 \(s\) 不同的，但 \(|s|=j\) 的视为若干转移等价的组一起转移。

• 除一除，约一约

• 设 \(P=dp_{i,j}\frac{x+j}{\binom{x+j}{x}i}\)

• \(dp_{i-1,j+1}=PF(x-3,j)\)

• \(dp_{i-1,j}=2PF(x-1,j-1)\)

• \(dp_{i-2,j}=2PF(x-2,j-1)\)

• \(dp_{i-2,j-1}=2PF(x,j-2)\)

• \(dp_{i-3,j-1}=PF(x-1,j-2)\)

• 哎终于结束了。

后言

• 枚举转移的数量真的还是头一次见呢！