车票

题目描述

• \(n\) 个环形车站，\(n\) 种票，地 \(i\) 种票负责 \(i,i+1\) 之间的往返。
• 有 \(n\) 个从 \(u\) 到 \(v\) 的需求。每次买票需要买 \(n\) 种的每一张一个
• 问最少要买多少组？

题解

• 设票的贡献为区间 \([l,r]\) 我们可以操作，使 \([l,r]\) 变成 \([1,l-1],[r+1,n]\)

• 首先二分答案，考虑每个位置化到合法。

• 嗯，先随机发现一些性质，所有操作的区间必然有交，因为没有交取反之后，一定互相严格覆盖，不如都不取反，所以所有操作的区间有交。

• 尝试枚举交点，判断是否合法。

• 我不知道为啥我还没学会，设要枚举的交点为 \(x\)，我们想要合法就要每个位置合法，不妨设每个位置的区间需要操作 \(b_i\) 次，最开始有 \(a_i\) 个区间，那么对于前半部分也就是要满足，\(a_i-\sum_{j\le i}b_j+\sum_{i<j\le x}b_j\le mid\)，那看来我们不仅要知道 \(x\) 是多少，还要枚举 \(b_x\) 的值

• 着很难看，不妨设 \(b_i\) 的前缀和 \(s_i\)，\(a_i-s_i+s_x-s_i\le mid\)，由此 \(\frac{a_i+s_x-mid}{2}\le s_i\)，这是枚举 \(b_i\) 的下界，我们只想勉强维持下届就好了，我们依次扫描，把所有的 \([i,?]\) 加入一个堆，我们每次贪心的取 \([\le i,?]\) \(?\) 最大的，显然左面符合答案，我们只需要判断右边是否符合答案即可。

• \(O(n^3log^2)\) 的

• 额，我们尝试去掉枚举 \(b_x\) 的值，由于 \(\frac{a_i+s_x-mid}{2}\le s_i\le s_x\)，\(a_i-mid\le s_x\) 求 \(a_i\) 的最大值，的那个 \(s_x\) 就是最优的 \(s_x\). \(O(n^2log^2n)\)

• 额，上面的结论假了。

• 我们可以证明 \(mid=c_i,c_i+1\)，其中 \(c_i\) 是操作后的 \(a_i\) 会变为多少理由如下，设所有区间的交为 \([x,y]\) 那么我们通过撤销一次 \([x,?],[?,y]\) 来使得 \(c_i\) 增大，而使 \(c\) 最大减小或不变，最大的 \(c\) 减小或不变，所以答案不会更差，所以 \(c_x\) 是 \([x,y]\) 中 \(c\) 的最大值，或者最大值减 \(1\)，\(a_i-s_x=mid\)，\(a_i-s_x=mid-1\)

• \(x\) 只枚举单调栈上的最大位置即可，若是枚举单调栈之后的位置，显然可贪的限制更紧，最大的 \(b_x\) 卡点还是前缀最大的 \(a_i\) 那不如在 \(a_i\) 处都计算了。

• 所以只需要 \(a_x-s_x=mid,mid-1\) 即可 \(O(n^2log^2n)\)

• 额，之后想枚举的 \(x\) 是否会是 \(a_x\) 最大的呢？如果存在更的却不是 \(x\)，更大的 \(a\) 的减小次数必然小于等于 \(b_i\)，这样都合法，那为什么不只保留覆盖 \(a\) 更大的区间呢？要是覆盖区间一样的话枚举那个显然都行，不一样的那，至少可以删一个不覆盖 \(a\) 大的区间。所以只算所有 \(a\) 最大位置的 \(x\) 就行了

• 故此只要找第一个 \(a\) 最大的 \(x\)，就行了 \(O(nlog^2n)\).

• 之所以写假的，是因为假的贪心也有很多分，不知道为啥。