QOJ 4215 Easiest Sum

QOJ 4215 Easiest Sum

前言

• 智慧不够 冤枉题解
• 仅以楼下 表我之无能
• /bx ps rj

题目描述

• 对于序列 \(a\)，每次操作将一个数减小 \(1\)。
• 令 \(f(k)\) 表示进行 \(k\) 表示进行 k 次操作后序列的最大子段和最小能达到多少。
• 给定 \(a,K\) 计算 \(\sum_{k=1}^Kf(k)\)，答案对 \(998244353\) 取模。
• \(n\le 10^5,K\le 10^{13}\)

题解

• 观察，我们迫切的希望减小一个数会使得，最大字段和减一，在任意时刻会有 \(x\) 个不交的极小段，且每一段都为最大字段，我们想把最大字段减小1，需要 \(x\) 次操作，而当 \(k\) 无限大时，进行 \(k\) 次操作后，\(x\) 会变成 \(n\)。于是 \(x\) 是一个不断增大到 \(n\) 的东西。
• 这里好像有单调性，把 \(K\) 划分成 \(n\) 段，每段贡献为等差数列的形式，重点在于一种确定操作 \(K\) 次后的 \(x\) 是多少。这这这，太困难我不会。
• 额，然后就是题解说的，不妨把问题转化为给定 \(x\)，求最小的 \(k\) 使得 \(f(k)\le x\)
• 诶，这有什么好处，由上文 \((x,f(k))\) 最为座标放在平面中，斜率就是上文的 \(x\)，所以成凸性，左下凸壳。用数学方法容易计算答案。
• 那么给定 \(x\) 怎么求 \(k\) 呢?
• 设 \(dp_{i}\) 表示考虑的序列的前 \(i\) 个数需要的最小的操作次数，答案就是 \(dp_n\)
• 转移就，\(dp_i=\max\limits_{j=0}^{i-1}\{dp_j+\sum\limits_{k=j+1}^{i}a_k-x\}\)，这里为什么对呢？万一区间 \([l,r]\) 满足小于 \(x\) 后，有区间 \([x,y],x\in[l,r]\) 不满足呢？但是我们有 \([l,y]\) 的贡献，所以不会错。要是独立呢？那更没问题了。
• 上述 dp 说的是什么呢，所有若干不相交区间的权值和减区间个数乘 \(x\)
• 就是 \(k=dp_n=\max\limits_{i=1}^n\{d_i-ix\}\) 其中 \(d_i\) 表示最大 \(k\) 段区间和。
• 那这个怎么求呢？考虑费用流，最大费用，起点向中间点连 \(-x\) 权，中间点向右连 \(a_i\) 的边，然后连向汇点，有费用流，有凸性，于是模拟费用流。
• 线段树每次选取最大子段，并将最大子段的数值取反即可。
• \(k\) 的值相当于若干直线取 \(max\) 相当于左下凸多边形，然后只需二分 \(f(k)\) 的为止，然后一段一段算，\(\text{O(nlogn)}\)