新语言

新语言 (lan)

题目描述：

Doris 创造了一种新语言，其中有 \(N\) 个字符，编号为 \(1\) 到 \(N\)。有了字符也就有单词， Doris 的语言中的单词需要满足以下规则：

设任意一个合法的单词为 \({A}\)，其中第 \(i\) 个字母记作 \(A_i\)，若 \(A_i \times 2 \le N\)，则该字母不能作为单词结尾，同时 \(A_{i+1}\) 一定要满足 \(A_i \times 2 \le A_{i+1}\)。

若 \(A_i \times 2 > N\)，则 \(A_{i+1}\) 的字符没有限制，且该字符可以作为单词结尾。

现在 Doris 想知道有多少个满足条件的⻓度为 \(M\) 的单词。

输入格式：

第一行两个整数 \(N\)，\(M\)。

输出格式：

一行 \(1\) 个整数，表示答案模 \(10^9 + 7\) 的余数。

样例输入 1

2 3

样例输出 1

1

样例输入 2

15 20

样例输出 2

795075710

样例输入 3

1433 2250

样例输出 3

662970601

【数据规模】

• \(10\%\) 的数据，满足 \(1 \le N \le 2\)，\(1 \le M \le 3000\)
• \(40\%\) 的数据，满足 \(1 \le N,M \le 3000\)
• \(100\%\) 的数据，满足 \(1 \le N,M \le 1000000\)

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解法

\(40\%\) 暴力：\(dp_{i,j}\) 表示当前放的位置是 \(j\)，权值为 \(i\)，然后 dp 即可拿到 \(40\%\)。

\(100\%\) 做法：注意到不考虑第二个条件，只考虑 \(A_{i} \times 2 \le A_{i+1}\) 那么我们可以得到一个序列：\(\{B\} = 1,2,4,8,16,32,64,... \ \ \because N\le1000000 \therefore |B| \le 19\) 我们称这样的 \(\{B\}\) 为子单词，注意 \(\{B\}\) 的结尾一定是 \(> \frac{N}{2}\)。设 \(dp_{i,j}\) 为末位权值为 \(j\) 长度为 \(i\) 的子单词数量的前缀和(在 \(i\) 这个维度上)。

转移：

前缀和：\(+dp_{i-1,j}\)

前一位取值：\(1 \sim \lfloor \frac{i}{2} \rfloor\) 根据 \(dp\) 前缀和定义，\(\therefore +dp_{\lfloor \frac{i}{2} \rfloor,j-1}\)

\(\therefore dp_{i,j} = dp_{i-1,j}+dp_{\lfloor \frac{i}{2} \rfloor,j-1}\)

提示：先枚举 \(j\) 再枚举 \(i\)。

设 \(dp1_i\) 为长度为 \(i\) 的单词方案总数，枚举当前长度 \(i\) 去除最后一个子单词后单词长度为 \(j\) 。

\(dp1_{i} = dp1_{j}*(dp_{i-j,n}-dp_{i-j,\lfloor \frac{n}{2} \rfloor })\)。

其中 \((dp_{i-j,n}-dp_{i-j,\lfloor \frac{n}{2} \rfloor})\) 表示因为子单词末尾一定要 \(> \frac{n}{2}\) 所以只有可能是 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \sim n\)。

根据前缀和即可写出。

至于 \(*dp1_{j} j\) 是剩下的长度，由乘法原理即可得到。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
int f[1000010];
signed main()
{	
	freopen("game.in","r",stdin);
	freopen("game.out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin>>n;
	int i;
	f[1]=1;
	f[2]=2;
	for(i=3;i<=100;i++)
	{
		if(f[i-2]>n-f[i-1])
		{
			break;
		}
		f[i]=f[i-1]+f[i-2];
	}
	for(int j=i;j>=1;j--)
	{
		if(n>f[j])
		{
			n-=f[j];
		}
		if(n == f[j])
		{
			cout<<n<<'\n';
			return 0;
		}
	}
	return 0;
}