[AT2062] ~K Perm Counting

问题描述

求长度为n的排列满足\(|p[i]-i|\not =k\)
n,k<=2000

解析

可以用棋盘的方法来解决这道问题。对于条件\(|p[i]-i|\not =k\)，我们可以画出如下的棋盘图：

那么要求就是不能有点放在黑点上。可以用总方案数减去不合法方案数。而不合法方案数可以用容斥来计算，式子如下：

\[\sum(-1)^i\times F[i]\times (n-i)! \]

\(F[i]\)表示的是有\(i\)个点放在黑点上的方案数。其余的点可以随便放，只要满足不同行且不同列即可，所以方案为\((n-i)!\) 。那么，怎么求\(F [i]\)呢？

通过上图可以发现，如果选择了一个黑点，跟他同行同列的黑点都不能再被选择。继续观察，发现所有的矛盾关系构成几条互不干扰的链，就像下图所示：

那么，在每一条链上都不能选择相邻的点。不同的链可以拼在一起，只允许相连接的地方可以相邻。这就是一个DP了。设\(f[i][j][0/1]\)表示当前在第\(i\)位、选了\(j\)个点、第\(j\)个点左边相邻的点有没有选的方案数。最后有

\[F[i]=f[len][i][0]+F[len][i][1] \]

\(len\) 表示链长之和。

代码

咕了