[51nod 1830] 路径交

问题描述

给定一棵n个点的树，以及m条路径，每次询问第L条到第R条路径的交集部分的长度（如果一条边同时出现在2条路径上，那么它属于路径的交集）。

输入格式

第一行一个数n（n<=500,000）
接下来n-1行，每行三个数x，y，z，表示一条从x到y并且长度为z的边
第n+1行一个数m（m<=500,000）
接下来m行，每行两个数u，v，表示一条从u到v的路径
接下来一行一个数Q，表示询问次数（Q<=500,000）
接下来Q行，每行两个数L和R

输出格式

Q行，每行一个数表示答案

样例输入

4
1 2 5
2 3 2
1 4 3
2
1 2
3 4
1
1 2

样例输出

5

解析

按照常规思想，这也许可以通过一些树上路径相关的数据结构来完成。但是实现起来有很大的困难。

看到询问的方式，与线段树区间询问的类型很相似。不妨也用类似的方法，用线段树维护路径的交集。具体维护起来可以通过维护交集路径的两个端点，加上一些分类讨论完成。为了保证复杂度是\(O(nlogn)\)的，需要用ST表实现最近公共祖先。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define N 500002
using namespace std;
const int inf=1<<30;
struct path{
	int u,v,dis;
}a[N],t[N*4];
int head[N],ver[N*2],nxt[N*2],edge[N*2],l;
int n,m,q,i,st[N][30],dep[N],dis[N],in[N],s[N],top;
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
void insert(int x,int y,int z)
{
	l++;
	ver[l]=y;
	edge[l]=z;
	nxt[l]=head[x];
	head[x]=l;
}
void dfs(int x,int pre)
{
	s[++top]=x;
	dep[top]=dep[in[pre]]+1;
	in[x]=top;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int y=ver[i];
		if(y!=pre){
			dis[y]=dis[x]+edge[i];
			dfs(y,x);
			s[++top]=x,dep[top]=dep[in[x]];
		}
	}
}
int get(int x,int y)
{
	if(dep[x]>dep[y]) return y;
	return x;
}
void init()
{
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=top;i++) st[i][0]=i;
	for(int j=0;(1<<(j+1))<=top;j++){
		for(int i=1;i+(1<<(j+1))-1<=top;i++) st[i][j+1]=get(st[i][j],st[i+(1<<j)][j]);
	}	
}
int LCA(int u,int v)
{
	int l=in[u],r=in[v];
	if(l>r) swap(l,r);
	int k=log2(1.0*(r-l+1));
	return s[get(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k])];
}
int dist(int u,int v)
{
	return dis[u]+dis[v]-2*dis[LCA(u,v)];
}
int my_comp(const int &x,const int &y)
{
	return dep[in[x]]>dep[in[y]];
}
path update(path x,path y)
{
	if(x.dis==inf) return y;
	if(y.dis==inf) return x;
	if(x.u==y.u&&x.v==y.v) return x;
	if(x.dis==0||y.dis==0) return (path){0,0,0};
	int a[4];
	a[0]=LCA(x.u,y.u);
	a[1]=LCA(x.u,y.v);
	a[2]=LCA(x.v,y.u);
	a[3]=LCA(x.v,y.v);
	sort(a,a+4,my_comp);
	int p1=a[0],p2=a[1];
	if(p1==p2&&((dep[in[p1]]<dep[in[LCA(x.u,x.v)]])||(dep[in[p2]]<dep[in[LCA(y.u,y.v)]]))) return (path){0,0,0};
	return (path){p1,p2,dist(p1,p2)};
}
void build(int p,int l,int r)
{
	if(l==r){
		t[p].u=a[l].u,t[p].v=a[l].v;
		t[p].dis=dist(t[p].u,t[p].v);
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	build(p*2,l,mid);
	build(p*2+1,mid+1,r);
	t[p]=update(t[p*2],t[p*2+1]);
}
path ask(int p,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(ql<=l&&r<=qr) return t[p];
	int mid=(l+r)/2;
	path ansl=(path){0,0,inf},ansr=(path){0,0,inf};
	if(ql<=mid) ansl=ask(p*2,l,mid,ql,qr);
	if(qr>mid) ansr=ask(p*2+1,mid+1,r,ql,qr);
	return update(ansl,ansr);
}
int main()
{
	n=read();
	for(i=1;i<n;i++){
		int u=read(),v=read(),w=read();
		insert(u,v,w);
		insert(v,u,w);
	}
	init();
	m=read();
	for(i=1;i<=m;i++) a[i].u=read(),a[i].v=read();
	build(1,1,m);
	q=read();
	for(i=1;i<=q;i++){
		int l=read(),r=read();
		path ans=ask(1,1,m,l,r);
		printf("%d\n",ans.dis);
	}
	return 0;
}