[洛谷P3233] HNOI2014 世界树
问题描述
世界树是一棵无比巨大的树，它伸出的枝干构成了整个世界。在这里，生存着各种各样的种族和生灵，他们共同信奉着绝对公正公平的女神艾莉森，在他们的信条里，公平是使世界树能够生生不息、持续运转的根本基石。
世界树的形态可以用一个数学模型来描述：世界树中有n个种族，种族的编号分别从1到n，分别生活在编号为1到n的聚居地上，种族的编号与其聚居地的编号相同。有的聚居地之间有双向的道路相连，道路的长度为1。保证连接的方式会形成一棵树结构，即所有的聚居地之间可以互相到达，并且不会出现环。定义两个聚居地之间的距离为连接他们的道路的长度；例如，若聚居地a和b之间有道路，b和c之间有道路，因为每条道路长度为1而且又不可能出现环，所卧a与c之间的距离为2。
出于对公平的考虑，第i年，世界树的国王需要授权m[i]个种族的聚居地为临时议事处。对于某个种族x（x为种族的编号），如果距离该种族最近的临时议事处为y（y为议事处所在聚居地的编号），则种族x将接受y议事处的管辖（如果有多个临时议事处到该聚居地的距离一样，则y为其中编号最小的临时议事处）。
现在国王想知道，在q年的时间里，每一年完成授权后，当年每个临时议事处将会管理多少个种族（议事处所在的聚居地也将接受该议事处管理）。 现在这个任务交给了以智慧著称的灵长类的你：程序猿。请帮国王完成这个任务吧。
输入格式
第一行为一个正整数n，表示世界树中种族的个数。
接下来n-l行，每行两个正整数x，y，表示x聚居地与y聚居地之间有一条长度为1的双
向道路。接下来一行为一个正整数q，表示国王询问的年数。
接下来q块，每块两行：
第i块的第一行为1个正整数m[i]，表示第i年授权的临时议事处的个数。
第i块的第二行为m[i]个正整数h[l]、h[2]、…、h[m[i]]，表示被授权为临时议事处的聚居地编号（保证互不相同）。
输出格式
输出包含q行，第i行为m[i]个整数，该行的第j(j=1，2…，，m[i])个数表示第i年被授权的聚居地h[j]的临时议事处管理的种族个数。
样例输入
10
2 1
3 2
4 3
5 4
6 1
7 3
8 3
9 4
10 1
5
2
6 1
5
2 7 3 6 9
1
8
4
8 7 10 3
5c
2 9 3 5 8
样例输出
1 9
3 1 4 1 1
10
1 1 3 5
4 1 3 1 1
解析
首先，我们来分析一下这道题的模型。有q个询问，每次有m个关键点，而\(\sum{m[i]}\)又比较小，我们由此可以想到虚树。那么以每个临时议事处为关键点，建立一棵虚树。
虚树建立好后，我们就要考虑如何在上面进行动态规划。要求虚树上离一个点距离最近的关键点，显然，距离一个关键点最近的关键点就是它本身。那么对于保留的其他点，设\(to[i]\)表示\(i\)归哪个点管辖，用树上动规的思想，显然一个点的\(to\)值要么由它的儿子更新(即儿子所属的点到该点的距离更近或编号更小)，要么由它的父亲更新。由此，我们可以分两次动态规划，一次用儿子去更新父亲，一次用父亲更新儿子。根据更新顺序不同，DFS的先后也不同。
之后，我们就要求每个议事处管辖多少点了。目前已知的信息有虚树上的关键点所属的议事处，我们接下来的任务是用这些信息得到树上的其他节点的信息。再来回忆虚树的构建原理，两个相邻关键点之间本来就收缩了一条链，现在要把这条链复原出来并统计答案。对于虚树上两相邻点\(a b\)之间的链，必然存在一个分界点\(c\)使\(c\)以下的点归\(to[b]\)管辖，以上的归\(to[a]\)管辖。容易想到，这个分界点必然是\(to[a]\)和\(to[b]\)之间的中点(当然中点必然在\(a\)和\(b\)之间，否则\(ab\)一定归属于同一个点)。我们不能直接一个一个地找，可以用倍增的方法。那么怎么求链\((a,b)\)之间的贡献呢？设\(a\)的第一个儿子为\(x\)，由于链上一定没有议事处(虚树......)，从\(b\)到\(c\)之间的点及其子树都属于\(to[b]\)，其余属于\(to[a]\)。用算式表达即为:
其中\(f[i]\)表示\(i\)点管辖的节点数量，\(size[i]\)表示根节点为\(i\)的子树大小。
可以看出，以上过程中没有讨论虚树上的关键点产生的贡献。这些点的特殊之处在于他们可能会连接其他的议事处。对于任意虚树关键点\(u\)，只有没有议事处的子树才能直接判断为和\(u\)点一起归\(to[u]\)管辖，其余则已在之前的计算中统计了。因此，设\(rest[u]\)初始化为\(size[u]\)，在上面的过程中，每找到一个关键点\(a\)的\(x\)，就使\(rest[a]-=size[x]\)，最后单独将\(rest\)累加入答案中。
讲了这么久，终于可以上代码了————
代码
// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 300002
using namespace std;
int head[N],ver[N*2],nxt[N*2],l;
int n,m,i,j,k,size[N],dep[N],fa[N][20],tim,dfn[N],x;
int a[N],tmp[N],to[N],s[N],t[N],top,cnt,rec[N],rest[N],f[N];
int read()
{
char c=getchar();
int w=0;
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c<='9'&&c>='0'){
w=w*10+c-'0';
c=getchar();
}
return w;
}
void insert(int x,int y)
{
l++;
ver[l]=y;
nxt[l]=head[x];
head[x]=l;
}
void dfs(int x,int pre)
{
dfn[x]=++tim;fa[x][0]=pre;
size[x]=1;dep[x]=dep[pre]+1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(y!=pre){
dfs(y,x);
size[x]+=size[y];
}
}
}
void init()
{
dfs(1,0);
for(int j=0;(1<<(j+1))<n;j++){
for(int i=1;i<=n;i++){
if(fa[i][j]==0) fa[i][j+1]=0;
else fa[i][j+1]=fa[fa[i][j]][j];
}
}
}
int LCA(int u,int v)
{
if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
int tmp=dep[v]-dep[u];
for(int i=0;(1<<i)<=tmp;i++){
if(tmp&(1<<i)) v=fa[v][i];
}
if(u==v) return u;
for(int i=(int)log2(1.0*n);i>=0;i--){
if(fa[u][i]!=fa[v][i]) u=fa[u][i],v=fa[v][i];
}
return fa[u][0];
}
int cmp(const int &x,const int &y)
{
return dfn[x]<dfn[y];
}
int dis(int x,int y)
{
return dep[x]+dep[y]-2*dep[LCA(x,y)];
}
void dfs1(int x)
{
rec[++tim]=x;rest[x]=size[x];
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
dfs1(y);
if(!to[y]) continue;
int d1=dis(to[y],x),d2=dis(to[x],x);
if(d1<d2||(d1==d2&&to[y]<to[x])||!to[x]) to[x]=to[y];
}
}
void dfs2(int x)
{
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
int d1=dis(to[x],y),d2=dis(to[y],y);
if(d1<d2||(d1==d2&&to[x]<to[y])||!to[y]) to[y]=to[x];
dfs2(y);
}
}
void dp(int a,int b)
{
int x=b,mid=b;
for(int i=18;i>=0;i--){
if(dep[fa[x][i]]>dep[a]) x=fa[x][i];
}
rest[a]-=size[x];
if(to[a]==to[b]){
f[to[a]]+=size[x]-size[b];
return;
}
for(int i=18;i>=0;i--){
int nxt=fa[mid][i];
if(dep[nxt]<=dep[a]) continue;
int d1=dis(nxt,to[b]),d2=dis(nxt,to[a]);
if(d1<d2||(d1==d2&&to[b]<to[a])) mid=nxt;
}
f[to[a]]+=size[x]-size[mid];
f[to[b]]+=size[mid]-size[b];
}
int main()
{
n=read();
for(i=1;i<n;i++){
int u,v;
u=read();v=read();
insert(u,v);insert(v,u);
}
init();
m=read();
for(i=1;i<=m;i++){
memset(head,0,sizeof(head));
memset(f,0,sizeof(f));
memset(to,0,sizeof(to));
memset(rest,0,sizeof(rest));
tim=top=l=0;
x=read();
for(j=1;j<=x;j++){
a[j]=read();
to[a[j]]=tmp[j]=a[j];
}
sort(a+1,a+x+1,cmp);
if(to[1]!=1) s[++top]=1;
for(j=1;j<=x;j++){
int lca=0;
while(top){
lca=LCA(a[j],s[top]);
if(top>1&&dep[s[top-1]]>dep[lca]){
insert(s[top-1],s[top]);
top--;
}
else if(dep[s[top]]>dep[lca]){
insert(lca,s[top]);
top--;
break;
}
else break;
}
if(s[top]!=lca) s[++top]=lca;
s[++top]=a[j];
}
while(top>1){
insert(s[top-1],s[top]);
top--;
}
dfs1(1);dfs2(1);
for(j=1;j<=tim;j++){
for(k=head[rec[j]];k;k=nxt[k]) dp(rec[j],ver[k]);
}
for(j=1;j<=tim;j++) f[to[rec[j]]]+=rest[rec[j]];
for(j=1;j<=x;j++) printf("%d ",f[tmp[j]]);
puts("");
}
return 0;
}
//P.S. 用轻重链剖分求LCA可以不用开O2。(O_O)
