KMP

KMP

定义

若要在 abcbdbddd中寻找cdb则有

模式串\(S\)：cdb

目标串\(T\)：abcbdbddd

\(i\)为目标串指针（i=1开始）

\(j\)为模式串指针（j=1开始）

BF（暴力算法）

BF算法是一个普通的暴力匹配算法，其算法思想是先将目标串的第一位与模式串的第一位先进行匹配。若成功，则将匹配模式串与目标串的第二位，若不相等，则将匹配目标串的第二位与模式串的第一位。

模拟一下：

目标串：abeabeabas

模式串：abeabas

\[\begin{align}&第一次\\ &{\color{Red}a}beabeabas\\ &{\color{Red}a}beabas\\ \end{align} \]

\[\begin{align}&第二次\\ &a{\color{Red}b}beabeabas\\ &a{\color{Red}b}eabas\\ \end{align} \]

\[\begin{align}&第三次\\ &ab{\color{Red}e}abeabas\\ &ab{\color{Red}e}abas\\ \end{align} \]

\[\begin{align}&第四次\\ &abe{\color{Red}a}beabas\\ &abe{\color{Red}a}bas\\ \end{align} \]

\[\begin{align}&第六次（中间跳了几次）\\ &abeab{\color{Red}e}abas\\ &abeab{\color{Red}a}s\\ &失败匹配 \end{align} \]

\[\begin{align} &第七次\\ &a{\color{Red}b}eabeabas\\ &{\color{Red}a}beabas \end{align} \]

但是睿智的你肯定已经发现了，当我们在匹配失败时，没有必要将\(i\)又重新回到\(1\)，完全可以将\(j=3\) 与其继续比较，这是因为\(j=6\)时，\(S[1,2]=S[4,5]\)，反正到此时已经保证\(T\)串的\(1\) ~ \(j-1\)已经匹配。

由此我们在这里引入\(border\)

border

定义：指的是字符串\(T\)，在第\(i\)位时，\(T[1,i]\)中最长的前缀与后缀相同的长度（不包括串本身）。

举例：有\(T=aba\) ，则有\(border[1]=0,border[2]=0,border[3]=1\)

根据定义可以得到当\(S\)与\(T\)匹配时，在第\(S[i],T[j]\)匹配失效时，\(j\)可以回到\(border[j-1]+1(j~!=1)\) 继续比较。

举个例子：

\[S=ababababe\\ T=ababe\\ 当i=5,j=5时匹配失败\\ 则可以保持i不变，j=border[j-1]+1=3以继续匹配 \]

但是若\(border[j-1]+1=1\) 则应当将\(i++\) 以继续比较

接下来便有一个问题，怎么快速求出\(border\)？

可以观察，假设我们已经求出了\(border[1-i]\)，要求\(border[i+1]\)，怎么办？

显然我们可以令\(j=border[i]\)

若\(S[j+1]=S[i+1]\) 则\(border[i+1]=j+1\)

反之，则继续上面的步骤，直到有成功的，或者\(j=0\)（无满足的前缀与后缀）

并且显然有\(border[1]=0\)

所以有以下代码：

char S[maxn];
int border[maxn];
inline void getborder(){
    int j=0;
    border[1]=0;
    for(int i=2;i<=ls;i++){
        while(j&&S[i]!=S[j+1]) j=border[j];
        if(S[i]==S[j+1]) j++;
        border[i]=j;
    }
}

KMP（看毛片）

算法流程：

先计算出\(border\)，当然在其他题解里面可能是\(next\)

再依次匹配\(S,T\)

每次匹配时，\(j\)表示\(S\)匹配位的上一位，\(i\)表示\(T\)匹配位的下标。

那么当S[j+1]!=T[i]&&j!=0时，一直取\(j=border[j]\)

若有\(S[j+1]==T[i]\) ，则\(j++,i++\)

反之只有\(i++\)

CODE

    j=0;
    for(int i=1;i<=la;i++){
        while(j&&a[i]!=b[j+1]) j=p[j];
        if(a[i]==b[j+1]) j++;
        if(j==lb) write(i-lb+1),j=p[j];
    }

可能算法讲解有些迷糊，主要靠各位大佬们自行多次反复理解。