25.09.25

CF2146F

sort 函数就是冒泡排序的轮数，而冒泡排序每轮让所有位置逆序对减一，直到全部非正。

因此记 \(f_i=\sum\limits_{j<i}[p_j>p_i]\)，那么 sort 就是 \(f_i\) 的最大值，而 \(b_i\) 只涉及到前缀的 \(f_i\)，\(f_i\) 同样是前缀信息，因此我们可以直接跳过 \(b_i\) 考虑 \(f_i\)。

对于一个限制 \((k,l,r)\)，先考虑下限，也就是 \(f_i\le k\) 至少有 \(l\) 个，那么有 \(f_l\le k\)。

我们发现下限的约束也就只有这么一点，也就是 \(i\le l\) 的位置 \(i\)，其填法为 \(\min(i,k+1)\)。

上限不好同时处理，不妨设计为容斥，也就是 \((k,l)\) 正贡献，\((k,r+1)\) 负贡献。

显然不能枚举子集或者其大小的容斥，考虑一些值域上的，发现 \(k\) 大的部分会被 \(k\) 小的完全抵消，因此按照 \(k\) 排序后做个 \(dp(k,i)\) 表示上个 \(k\) 约束到了 \(i\) 即可。

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数连通块这种东西就比较困难，然后注意到这是个网格图，也就是平面图，有一个东西叫平面图欧拉公式 \(V-E+F=2\)。

我们考虑黑点 \(V\) 个，\(E\) 条边，其划分出的 \(F\) 个面中，大多数都是白点的连通块，只有四个黑点的矩形不是。

而这个公式的变型是 \(V-E=2-F\)，把最外面那个无限大的面删掉，变成 \(V-E=1-F'\)，正好就是一个黑连通块减去内部的白连通块和四个黑点的矩形。

因此直接扫描线维护黑色点数和边数，同时算出四个黑点的矩形即可。

第一步感觉是比较神秘，属于是知道这一类就知道，不知道就不会做，算是积累了。