Luogu P1012 [NOIP1998 提高组] 拼数 贪心可行性证明
本文只证明贪心可行性
即为什么按照 $A+B<B+A$ 的比较方式可以排序，其中 $A,B$ 是string类型变量
设该偏序为 $\triangleright $
必须要证明这个定义下$\triangleright $ 的传递性：即如果 $A\triangleright B\triangleright C$ 那么 $A\triangleright C$
证明如下：
首先设 $A,B,C$ 长度相等，$A\triangleright B\triangleright C$（下文中 $AB$ 表示字符串 $A,B$ 首位拼接）
由 $A\triangleright B$ 那么 $AB<BA$ 由于 $A,B$ 长度相同，则必定 $\exists i$ 使得 $A[i]<B[i]$ 且对 $\forall j<i$ 有 $A[j]=B[j]$
同理 $\exists p$ 使得 $B[p]<C[p]$ 且对 $\forall q<p$ 有 $B[q]=C[q]$
若 $i<p$ 则 $A[i]<B[i]=C[i]$ 且对 $\forall j<i$ 有 $A[j]=C[j]$ 即 $AC<CA$ 即 $A<C$
若 $i=p$ 则 $A[i]<B[i]<C[p]$ 且对 $\forall j<i$ 有 $A[j]=C[j]$ 即 $AC<CA$ 即 $A<C$
若 $i>p$ 则 $A[p]=B[p]<C[p]$ 且对 $\forall q<p$ 有 $A[q]=C[q]$ 即 $AC<CA$ 即 $A<C$
综上，当 $A,B,C$ 长度相同时，该偏序存在传递性
接下来证明 $\forall A,B$ ， $A\triangleright B \Leftrightarrow AA...A\triangleright B$ ，其中 $A,B$ 长度可以不同
先证明 $\Rightarrow $ ：
归纳法，当 $A\triangleright B$ 时，$AB<BA$，$\Rightarrow$ $AAB<ABA$ 且 $ABA<BAA$
则 $AAB<BAA$；
由 $AB<BA$ $\Rightarrow$ $AAAB<AABA$
又 $AAB<BAA$ $\Rightarrow$ $AABA<BAAA$
则 $AAAB<BAAA$
如此归纳，可知 $A\triangleright B$ $\Rightarrow$ $AA...A\triangleright B$
同理可证，$A\triangleright B$ $\Rightarrow$ $A\triangleright BB...B$ ...<1>
再证明 $\Leftarrow $：
反证法，若 $AA...A\triangleright B$ 即 $AA...AB<BA...AA$ 时，如果没有 $A\triangleright B$
则 $B\triangleright A$ 或者 $AB=BA$
若 $AB=BA$ ，则 $AA...AB=AA...BA=AA..BAA=...=AB...AA=BA...AA$，矛盾
接下来只要证 $B\triangleright A$ 时矛盾
若 $B\triangleright A$ 则 $B\triangleright AA...A$ (由<1>可得)
则 $BA...AA<AA...AB$，矛盾
综上，$A\triangleright B \Leftrightarrow AA...A\triangleright B$
则 $A\triangleright B \Leftrightarrow AA...A\triangleright BB...B$ （$A,B$重复次数可以不相同）
当 $A,B,C$ 长度不同时，对 $A,B,C$ 分别进行适当的延拓变为长度相同的 $xA,yB,zC$ 即可进行比较
若 $A\triangleright B\triangleright C$，则 $xA\triangleright yB\triangleright zC$ 则 $xA\triangleright zC$ 则 $A\triangleright C$
这样，$A\triangleright B\triangleright C$ 可得 $A\triangleright C$，偏序的传递性成立
Q.E.D.
