CF125E MST Company
题目大意
求一种特殊的最小生成树。给定一个有\(n\)个节点和\(m\)条边的图，找出一个生成树满足从根节点\(1\)直接连向其余节点的边要恰好是\(k\)条，在此条件下生成树的权值和最小。
思路分析
根据我们带权二分的经验，我们会发现，我们可以给与1相连的边给一个附加权值。
显然，权值越大，选的边就越少。
于是我们就可以二分这个权值。
根据我们\(wqs\)二分的经验，可能并不能刚好二分到那个点，斜率可能一样。
这个时候，我们就枚举在生成树外的边\((u,v)\),设权值为\(w\)
找到\(u,v\)分别属于的与1相连的连通块的根\(u',v'\)
如果\(w=(1,u'/v')\)就替换。
为什么一定要恰好相等才替换？
事实上就是那些边权相等的边导致1的度数超过了\(k\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define IL inline
#define RG register
#define gi geti<int>()
#define gl geti<ll>()
#define gc getchar()
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
template<typename T>IL bool chkmax(T &x,const T &y){return x<y?x=y,1:0;}
template<typename T>IL bool chkmin(T &x,const T &y){return x>y?x=y,1:0;}
template<typename T>
IL T geti()
{
RG T xi=0;
RG char ch=gc;
bool f=0;
while(!isdigit(ch))ch=='-'?f=1:f,ch=gc;
while(isdigit(ch))xi=xi*10+ch-48,ch=gc;
return f?-xi:xi;
}
template<typename T>
IL void pi(T k,char ch=0)
{
if(k<0)k=-k,putchar('-');
if(k>=10)pi(k/10);
putchar(k%10+'0');
if(ch)putchar(ch);
}
const int N=1e4+7,M=1e5+7;
struct edge{
int u,v,w,id;
bool operator < (const edge &b)const{return w==b.w?u<b.u:w<b.w;}
}e[M];
vector<edge>G[N];
int edgecnt;
int fa[N],rk[N];
bitset<100001>vis;
int n,m,k,cnt;
inline void clear(){for(int i=1;i<=n;++i)fa[i]=i;fill(rk,rk+N,1);}
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
inline bool merge(int x,int y)
{
x=find(x),y=find(y);
if(x==y)return 0;
if(rk[x]>rk[y])swap(x,y);
fa[x]=y,rk[y]+=rk[x];
return 1;
}
inline bool check()
{
clear();
int deg=0;
for(int i=1;i<=m;++i)
if(e[i].u!=1)merge(e[i].u,e[i].v);
else ++deg;
if(deg<k)return 0;
cnt=0;
for(int i=2;i<=n;++i)
if(find(i)==i)
++cnt;
if(cnt>k)return 0;
for(int i=1;i<=m;++i)
if(e[i].u==1)
merge(e[i].u,e[i].v);
cnt=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(find(i)==i)
++cnt;
return cnt==1;
}
inline void dfs(int x,int p)
{
fa[x]=fa[p];
for(auto &&i:G[x])
if(i.v^p)dfs(i.v,x);
}
int val[N],id[N];
set<int>print;
int main(void)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
// File("");
#endif
n=gi,m=gi,k=gi;
if(n==1)return pi(0),0;
int maxw=0;
for(int i=1;i<=m;++i)
{
e[i]=(edge){gi,gi,gi,i};
if(e[i].u>e[i].v)swap(e[i].u,e[i].v);
chkmax(maxw,e[i].w);
}
sort(e+1,e+m+1);
if(!check())return pi(-1),0;
int l=-maxw,r=maxw,ans=998244353;
while(l<=r)
{
int mid=(l+r)>>1;
clear();
for(int i=1;i<=m;++i)
if(e[i].u==1)
e[i].w+=mid;
sort(e+1,e+m+1);
cnt=0;
for(int i=1,tot=0;i<=m;++i)
if(merge(e[i].u,e[i].v))
{
++tot;
if(e[i].u==1)++cnt;
if(tot==n-1)break;
}
for(int i=1;i<=m;++i)
if(e[i].u==1)
e[i].w-=mid;
if(cnt>=k)ans=mid,l=mid+1;
else r=mid-1;
}
// cout<<"Val=:"<<ans<<endl;
clear(),cnt=0;
for(int i=1;i<=m;++i)
if(e[i].u==1)
e[i].w+=ans;
sort(e+1,e+m+1);
for(int i=1;i<=m;++i)
if(merge(e[i].u,e[i].v))
{
vis.set(i);
if(e[i].u==1)++cnt;
print.insert(e[i].id);
G[e[i].u].push_back((edge){0,e[i].v,e[i].w,e[i].id});
G[e[i].v].push_back((edge){0,e[i].u,e[i].w,e[i].id});
}
for(auto &&i:G[1]){
val[i.v]=i.w,id[i.v]=i.id;
fa[1]=i.v,dfs(i.v,1);
}
for(int i=1;i<=m&&cnt>k;++i)
{
if(e[i].u!=1&&!vis[i])
{
int u=find(e[i].u),v=find(e[i].v);
if(u==v)continue;
if(val[u]!=e[i].w&&val[v]!=e[i].w)continue;
if(val[v]==e[i].w)swap(u,v);
fa[u]=v,--cnt;
print.insert(e[i].id),print.erase(id[u]);
}
}
if(cnt==k){
pi(n-1,'\n');
for(auto i:print)pi(i,' ');
}
else pi(-1);
return 0;
}
