[ICPC 2020 Shanghai R] Sum of Log

传送门

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诡异。

题目思路

数位 dp？！

Trick：当 $ a \& b $ 时，$ a | b = a + b $。

设 $ k=\lfloor log_{2}(\max(i,j))\rfloor $，可以理解为要求两个数字第 \(k\) 位上有且仅有一个 \(1\)，且更高位全为 \(0\)。

将式子转化为 $ \sum_{k=0}^{30} (k+1) \sum_{i=0}^{x} \sum_{j=0}^{y} [i \& j=0][ \lfloor log_{2}(\max(i,j))\rfloor=k ]$。

枚举 \(k\) 并计数。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
int n,x,y,dp[35][2][2];
int dfs(int pos,int a,int b){
	if(pos<0)	return 1;
	if(dp[pos][a][b]!=-1)	return dp[pos][a][b];
	int up1=a?((x>>pos)&1):1,up2=b?((y>>pos)&1):1,ans=0;
	for(int i=0;i<=up1;i++){
		for(int j=0;j<=up2;j++){
			if(i&&j)	continue;
			(ans+=dfs(pos-1,(a&&i==up1),(b&&j==up2)))%=mod;
		}
	}
	dp[pos][a][b]=ans;
	return ans;
}
void solve(){
	int ans=0;
	cin>>x>>y;
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	for(int i=0;i<=30;i++){
		int u1=0,u2=0;
		if(x>=(1<<i))	u1=dfs(i-1,(x-(1<<i))<(1<<i),y<(1<<i))%mod;
		if(y>=(1<<i))	u2=dfs(i-1,x<(1<<i),(y-(1<<i))<(1<<i))%mod;
		/*
		(x-(1<<i))<(1<<i) 是指要求 k 位以上全是 0 时，会不会填数出现数字大于 x 的情况
		比如：
		101100 k=4  -->  100100
		剩下乱填都可以     | 
		*/
		(ans+=(u1+u2)*(i+1))%=mod;
		
	}
	cout<<ans<<"\n";
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
	int T;cin>>T;
	while(T--)	solve();
	return 0;
}