题解：AT_arc071_d [ARC071F] Infinite Sequence

题意

让你构造一个每个数为 \(1 \sim n\) 的正整数无限长的序列，满足：

• 第 \(n\) 项及之后的所有项都相等

• 对于每一个 \(a_i\)，满足 \(a_{i+1} \sim a_{i+a_i}\) 个数都相同。

问你有多少种方案 \(\bmod 10^9+7\)。

思路

看到问方案，首先想到 dp。

那么设 \(f_i\) 表示对于每一位 \(a\in[1,n]\) 有多少种方案，则可以得到

\[f_i=f_{i-1}+(n-1+f_{i-3})+(n-1+f{i-4}) \cdots +(n-1+f_{i-n-1}) \]

加上前缀和优化一下之后的式子就变成了

\[f_i=f_i-1+sum_{i-3}+n^2-n-i+2 \]

其中 \(f_1=n,f_2=n^2\)，\(sum\) 数组用来求 \(f\) 数组的前缀和，需要预处理一下，注意 \(\bmod 10^9+7\)。

综上所述，时间负责度为 \(O(n)\)。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
#define rep(i, l, r) for(int i = l; i <= r; ++ i)
#define per(i, r, l) for(int i = r; i >= l; -- i)
const int N = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7;
int f[N], sum[N], n;
main() 
{
	scanf("%lld", &n);
	f[0] = 1; f[1] = n; f[2] = (n * n) % mod;
	sum[0] = 1;
	sum[1] = (f[0] + f[1]) % mod;
	sum[2] = ((f[0] + f[1]) % mod + f[2]) %mod;
	rep(i, 3, n) 
	{
		f[i] = ((f[i - 1] + sum[i - 3]) % mod + n * (n - 1) - i + 2) % mod;
		sum[i] = (sum[i - 1] + f[i]) % mod;
	}
	printf("%lld", f[n] % mod);
	return 0;
}