题解：P9788 [ROIR 2020 Day2] 区域规划

思路 1

观察式子，不妨设 \(a=c+t,b=d+w\)，那么有 \((c+t)(d+w)-cd=n\)，即 \(cw+td+tw=n\)，考虑枚举 \(t,w\)，注意到 \(c,d,t,w>0\)，所以 \(tw<n\)，所以 \(w\leq\lfloor\frac nt\rfloor\)， 那么问题转化成 \(cw+td=n-tw\) 的正整数解，其中 \(t,w,n\) 已知，故可使用 exgcd，时间复杂度为 \(O(n \log^2 n)\)。

但还要注意 \(a\neq x，b\neq x\)，所以答案要减去 \(a=x\) 或 \(b=x\) 的情况。

考虑容斥，答案即为 \(a=x\) 时的答案加上 \(b=x\) 时的答案减去 \(a=x\) 且 \(b=x\) 的答案，后者整除分块容易解决，考虑前者（这里只考虑 \(a=x\) 的情况，\(b=x\) 同理），注意到 \(b\le n\)，考虑枚举 \(c\)，那么转化成求 \(xb-cd=n\) 的正整数解，其中\(x,c,n\) 已知，可以使用 exgcd，时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

综上所述，时间复杂度为 \(O(n\log^2n)\)。

思路 2

当然是暴力加优化了。

我们固定 \(a,b\) 和 \(c\)。然后我们可以发现 \(d\) 是由方程 \(ab-cd=n\) 的唯一确定的：如果 \(ab-n\) 是 \(c\) 的倍数，那么 \(d=(ab-n)\div c\)，否则没有合适的 \(d\)。注意记得要检查 \(b>d\)。

综上所述，时间复杂度 \(O(n^3)\)。

思路 2 代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, l, r) for(int i = l; i <= r; ++ i)
#define per(i, r, l) for(int i = r; i >= l; -- i)
int n, x, ans;
main()
{
    cin >> n >> x;
    for(int i = 1; i <= n + 1;++ i)
    {
        if(i == x) continue;
        rep(j, i, n + 1)
        {
            if(j == x || i * j <= n) continue;
            rep(k, max(1, (i * j - n) / j), i - 1)
            {
                if((i * j - n) / k >= j) continue;
                if((i * j - n) % k == 0) ans += 1 + (i != j);
            }
        }
    }
	printf("%d", ans);
    return 0;
}