初中数学

如图，\(∠AOB＝30°\)，\(M\)，\(N\) 分别是 \(OA\)，\(OB\) 上的定点，\(P\)，\(Q\) 分别是边 \(OB\)，\(OA\) 上的动点，如果记 \(∠AMP＝\alpha\)，\(∠ONQ＝\beta\)，当 \(MP＋PQ＋QN\) 最小时，则 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的数量关系是_________________.

【答案】\(α－β＝90°\)

解：如图，作 \(M\) 关于 \(OB\) 的对称点 \(M'\)，\(N\) 关于 \(OA\) 的对称点 \(N'\)，连接 \(M'N'\) 交 \(OA\) 于\(Q\)，交 \(OB\) 于 \(P\)，则 \(MP+PQ+QN\) 最小，

易知 \(∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，\)
\(∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，\)
\(∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ\)
\(∴∠OPM=30°+30°+∠ONQ\)
\(∵α=30°+∠OPM\)，
\(∴α－β＝90°\)

故答案为：\(α－β＝90°\).