P1118 [USACO06FEB] Backward Digit Sums G/S

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原题链接

题目范围

• \(1 \le N \le 12\)
• \(1 \le \text{sum} \le 12345\)

解题思路

这题的关键是先看出“不断相加”后的结果，本质上是一个加权和。

以 \(n=4\) 为例：

a1   a2   a3   a4
  a1+a2   a2+a3   a3+a4
    a1+2a2+a3   a2+2a3+a4
      a1+3a2+3a3+a4

最后一行的系数是 1, 3, 3, 1，正好对应杨辉三角的一行。
继续推广可知，最终结果可以写成：

\[\sum_{i=1}^{n} a_i \cdot C(n-1, i-1) \]

于是原题就转化成了：

排列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，找到一个字典序最小的方案，使得

\[\sum_{i=1}^{n} a_i \cdot C(n-1, i-1)=\text{sum} \]

所以整道题可以分成两步：

1. 先预处理出杨辉三角，得到每一位对应的权值。
2. 再用 DFS 枚举排列，计算当前加权和。

因为题目要求输出字典序最小的解，所以搜索时按 1 ~ n 的顺序枚举。这样第一个满足条件的方案就是答案。

剪枝

设当前已经填到第 idx 位，当前加权和为 cursum。

如果 cursum > sum，后面再怎么填也只会更大，就可以直接返回。

复杂度分析

• 时间复杂度：最坏情况下为 \(O(n! \cdot n)\)
  需要枚举排列，搜索过程中每个状态的转移是常数级，整体主要由全排列数量决定。
• 空间复杂度：\(O(n^2)\)
  其中杨辉三角需要 \(O(n^2)\)，递归栈、路径数组和标记数组需要 \(O(n)\)。
  n 的范围较小

代码实现

#define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<int(b);++i)

int n, num;
int c[15][15];     // 杨辉三角
int coef[15];      // 每一位的系数
int path[15];      // 当前排列
bool used[15];
bool found;

void init() {
    rep(i, 0, 13) {
        c[i][0] = c[i][i] = 1;
        rep(j, 1, i) {
            c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
        }
    }
}

void dfs(int idx, int cursum) {
    if (found) return;
    if (cursum > num) return;

    if (idx == n) {
        if (cursum == num) {
            rep(i, 0, n) cout << path[i] << " ";
            cout << '\n';
            found = true;
        }
        return;
    }

    rep(i, 1, n + 1) {
        if (used[i]) continue;
        used[i] = true;
        path[idx] = i;
        dfs(idx + 1, cursum + i * coef[idx]);
        used[i] = false;
    }
}

void solve() {
    init();
    cin >> n >> num;

    rep(i, 0, n) {
        coef[i] = c[n - 1][i];
    }

    dfs(0, 0);
}

易错点

1. 杨辉三角的预处理
2. DFS的使用
3. 要按从小到大的顺序枚举，才能保证第一个找到的是字典序最小解。
4. 剪枝条件写成 cursum > sum，不要漏掉。

总结

看出最后结果等价于一个组合数加权和，后面就是一个带剪枝的全排列搜索，题目规模不大